Ecuación cuártica desde raíces

Usted puede introducir valores distintos o repetidos; la herramienta expande los factores correspondientes y devuelve la forma estándar, los coeficientes ordenados por potencias descendentes y una ecuación legible. Resulta útil cuando un ejercicio proporciona los ceros pero solicita el polinomio, cuando desea comprobar una factorización o cuando un programa requiere un arreglo de coeficientes en lugar de la notación con raíces. El cálculo es determinista y no depende de servicios algebraicos externos.

Convierta cuatro raíces en factores lineales

Un número r es raíz de un polinomio cuando al sustituir x por r el resultado es cero. El teorema del factor relaciona esa condición con un factor lineal: la raíz r corresponde a (x - r). La calculadora aplica esta regla a los cuatro valores y forma (x - r1)(x - r2)(x - r3)(x - r4). Las raíces negativas producen de manera natural una suma dentro del factor, pues restar un número negativo equivale a sumar. Una raíz igual a cero aporta el factor x. Los valores repetidos se conservan; por ejemplo, 2, 2, -1 y 0 generan un polinomio donde 2 tiene multiplicidad dos. El resultado es mónico, es decir, su coeficiente principal es 1. Por ello, cuatro factores lineales siempre generan un término x^4 aunque se cancelen varios coeficientes inferiores. Introduzca las raíces como números JSON reales, no como expresiones ni constantes simbólicas. Se exigen exactamente cuatro números reales finitos para que la validación sea inequívoca.

Cómo se calculan la expansión y los coeficientes

La herramienta expande los factores mediante una convolución determinista de coeficientes. Comienza con el polinomio constante 1. Para cada raíz r, multiplica la lista actual por x - r: cada coeficiente contribuye una vez a la posición de la potencia superior y otra vez, multiplicado por -r, a la posición siguiente. Después de cuatro pasos se obtiene [a, b, c, d, e] para ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e. Como el polinomio construido es mónico, a siempre vale 1. Los demás valores coinciden con las sumas simétricas elementales: b es la suma negativa de las raíces, c suma todos los productos por parejas, d es la suma negativa de todos los productos triples y e es el producto de las cuatro raíces. La respuesta incluye el arreglo ordenado, campos con nombre para la forma estándar, la notación factorizada, una expresión formateada y una ecuación igualada a cero. Así, el mismo resultado sirve para código, ejercicios y comprobaciones visuales.

Interprete el resultado y compruebe su cuártica

Utilice el arreglo de coeficientes al enviar el polinomio a programas numéricos: el orden siempre es x^4, x^3, x^2, x y finalmente el término constante. Use standard_form cuando prefiera campos con nombre o copie la ecuación para una solución escrita. Para verificarla rápidamente, sustituya cada raíz original en la expresión expandida; cada sustitución debe dar cero, salvo pequeños efectos de redondeo con decimales en aritmética binaria de punto flotante. También puede revisar indicios estructurales. El término constante es el producto de las cuatro raíces y el coeficiente de x^3 es el negativo de su suma. Si una raíz es cero, el término constante también debe ser cero. Cuando las raíces aparecen en pares opuestos, algunos términos de potencia impar pueden cancelarse. El endpoint no resuelve una ecuación porque las raíces ya son conocidas: realiza la operación inversa, construir y expandir la cuártica mónica única asociada con ellas. Cada solicitud cuesta $0.002 por elemento; un conjunto de cuatro raíces cuenta como un elemento.