Calculadora do ponto pelo teorema de Rolle

O primeiro aparece como resposta principal, sem ocultar outros pontos válidos. Assim, você pode conferir exercícios, montar exemplos resolvidos e automatizar atividades de cálculo sem presumir que a condição essencial das extremidades foi atendida.

O que o teorema de Rolle garante

O teorema de Rolle vale quando uma função é contínua em um intervalo fechado, diferenciável no intervalo aberto correspondente e tem valores iguais nas duas extremidades. Todo polinômio já satisfaz as condições de continuidade e diferenciabilidade; portanto, a verificação decisiva é se f(a)=f(b). Quando isso ocorre, existe pelo menos um número c estritamente entre a e b para o qual f'(c)=0. Em termos geométricos, o gráfico possui uma tangente horizontal entre dois pontos extremos de mesma altura. Esta calculadora avalia os dois valores antes de resolver a derivada, em vez de supor que o teorema se aplica apenas porque você informou um intervalo. Se houver diferença além de uma pequena tolerância numérica ajustada à escala, ela devolve um erro de entrada. A distinção é importante: um polinômio pode possuir pontos críticos mesmo com extremidades diferentes, mas eles não são garantidos por Rolle nesse intervalo. Por isso, o valor comum das extremidades é incluído no resultado como registro da hipótese que fundamenta a conclusão.

Como informar e interpretar o polinômio

Digite o polinômio usando x como variável, coeficientes decimais e acento circunflexo nas potências, como x^3 - 3x ou 2x^4 - 8x^2 + 6. O sinal de multiplicação é opcional: 4*x e 4x têm o mesmo significado. Os expoentes precisam ser inteiros não negativos, e o analisador aceita grau de até doze. Em seguida, informe interval_start e interval_end, mantendo a extremidade esquerda menor que a direita. O campo point traz o valor válido de c mais à esquerda, oferecendo uma resposta singular estável quando a questão pede “o ponto”. O array points lista todas as raízes distintas da derivada isoladas dentro do intervalo, pois Rolle garante existência, mas não unicidade. Cada item também mostra a derivada avaliada no ponto arredondado. Um resíduo muito pequeno pode surgir quando uma raiz irracional é arredondada para a precisão escolhida; isso não torna a solução incorreta. derivative_coefficients apresenta os coeficientes em potências decrescentes para que você confira a diferenciação ou reconstrua o polinômio derivado.

Como o cálculo encontra pontos internos confiáveis

O algoritmo primeiro reúne potências iguais e avalia o polinômio pelo método de Horner. Depois, constrói a derivada diretamente a partir dos coeficientes e isola suas raízes reais de maneira recursiva. As raízes de cada derivada dividem o intervalo em trechos nos quais o polinômio analisado é monótono. Mudanças de sinal são refinadas por bisseção limitada, enquanto pontos estacionários de fronteira são testados separadamente para preservar raízes repetidas que apenas tocam o zero. Somente raízes estritamente internas são mantidas; uma derivada nula na extremidade não serve como c. Todos os laços possuem limites fixos, o grau e o tamanho da entrada são controlados, e não há uso de rede, aleatoriedade ou relógio. Em uma resolução escolar, use o ponto retornado como valor numérico e mostre os passos simbólicos: calcule f(a) e f(b), declare que polinômios são contínuos e diferenciáveis, obtenha f' e resolva f'(c)=0 com a<c<b. Desse modo, o resultado permanece ligado às hipóteses e à conclusão do teorema.