Calculadora del punto del teorema de Rolle

Presenta el primero como respuesta principal y conserva los demás puntos válidos. Así puede comprobar ejercicios, preparar ejemplos resueltos y automatizar problemas de cálculo sin dar por cumplida la condición esencial de los extremos.

Qué garantiza el teorema de Rolle

El teorema de Rolle se aplica cuando una función es continua en un intervalo cerrado, derivable en el intervalo abierto correspondiente y toma el mismo valor en ambos extremos. Todo polinomio satisface automáticamente las dos condiciones de regularidad; por ello, aquí la comprobación decisiva es f(a)=f(b). Si se cumple, existe al menos un número c, estrictamente entre a y b, tal que f'(c)=0. Geométricamente, la gráfica tiene una tangente horizontal entre dos puntos extremos situados a la misma altura. La calculadora evalúa ambos extremos antes de resolver la derivada y no presupone que basta con introducir un intervalo. Si los valores difieren más que una pequeña tolerancia numérica adaptada a su escala, devuelve un error de entrada. Esta distinción es importante: un polinomio puede tener puntos críticos aunque sus extremos sean distintos, pero el teorema no los garantiza en ese intervalo. El valor del extremo incluido en el resultado deja constancia de la hipótesis que justifica la conclusión.

Cómo introducir e interpretar el polinomio

Introduzca el polinomio con x como variable, coeficientes decimales y un acento circunflejo para las potencias; por ejemplo, x^3 - 3x o 2x^4 - 8x^2 + 6. El signo de multiplicación es opcional, por lo que 4*x y 4x significan lo mismo. Los exponentes deben ser enteros no negativos y el analizador admite grados de hasta doce. Después indique interval_start e interval_end, con el extremo izquierdo menor que el derecho. El campo point muestra el valor válido de c situado más a la izquierda y ofrece una respuesta única y estable cuando un ejercicio pide «el punto». El array points contiene todas las raíces distintas de la derivada halladas dentro del intervalo, pues Rolle asegura existencia, no unicidad. Cada entrada incluye además la derivada evaluada en el punto redondeado. Un residuo mínimo puede aparecer al redondear una raíz irracional; no invalida la solución. derivative_coefficients enumera los coeficientes en potencias descendentes para que usted pueda verificar la derivación o reconstruir el polinomio derivado.

Cómo se localizan puntos interiores fiables

El algoritmo agrupa primero las potencias iguales y evalúa el polinomio mediante el método de Horner. Construye la derivada directamente a partir de los coeficientes y aísla sus raíces reales de forma recursiva. Las raíces de cada derivada dividen el intervalo en tramos donde el polinomio que se resuelve es monótono. Los cambios de signo se refinan mediante una bisección acotada, y también se comprueban los límites estacionarios para no perder raíces múltiples cuya gráfica toca el cero sin cruzarlo. Solo se conservan raíces estrictamente interiores: un extremo con derivada nula no sirve como c. Todos los bucles tienen límites fijos, el grado y la longitud de entrada están acotados y no se usa red, azar ni reloj. Para presentar un ejercicio, utilice el punto numérico y muestre los pasos simbólicos: calcule f(a) y f(b), indique que un polinomio es continuo y derivable, obtenga f' y resuelva f'(c)=0 con a<c<b. Así la respuesta queda ligada de forma clara a las hipótesis y la conclusión del teorema.