Calculateur du point du théorème de Rolle

Il retient le premier comme réponse principale tout en indiquant les autres solutions valides. Vous pouvez ainsi contrôler un exercice, préparer un exemple corrigé ou automatiser des problèmes sans supposer que l’hypothèse essentielle aux bornes est satisfaite.

Ce que garantit le théorème de Rolle

Le théorème de Rolle s’applique lorsqu’une fonction est continue sur un intervalle fermé, dérivable sur l’intervalle ouvert associé et prend la même valeur aux deux bornes. Tout polynôme vérifie automatiquement les deux conditions de régularité : le contrôle décisif consiste donc à établir f(a)=f(b). Dans ce cas, il existe au moins un nombre c strictement compris entre a et b tel que f'(c)=0. Géométriquement, la courbe possède une tangente horizontale entre deux extrémités situées à la même hauteur. Le calculateur évalue les deux bornes avant de résoudre l’équation dérivée, au lieu de présumer que la simple saisie d’un intervalle suffit. Si les valeurs diffèrent au-delà d’une petite tolérance numérique adaptée à leur échelle, il signale une erreur de saisie. Cette nuance est essentielle : un polynôme peut avoir des points critiques lorsque ses valeurs aux bornes diffèrent, mais ceux-ci ne sont pas garantis par le théorème sur l’intervalle choisi. La valeur commune affichée dans le résultat atteste donc l’hypothèse qui fonde la conclusion.

Saisir et interpréter le polynôme

Saisissez le polynôme avec x comme variable, des coefficients décimaux et un accent circonflexe pour les puissances, par exemple x^3 - 3x ou 2x^4 - 8x^2 + 6. Le signe de multiplication est facultatif : 4*x et 4x sont équivalents. Les exposants doivent être des entiers positifs ou nuls et le degré maximal accepté est douze. Renseignez ensuite interval_start et interval_end, la borne gauche devant être inférieure à la droite. Le champ point fournit la valeur admissible de c la plus à gauche, ce qui donne une réponse unique et stable lorsque l’énoncé demande « le point ». Le tableau points contient toutes les racines distinctes de la dérivée isolées dans l’intervalle, car Rolle garantit l’existence, non l’unicité. Chaque entrée indique aussi la dérivée évaluée au point arrondi. Un résidu minime peut apparaître lorsqu’une racine irrationnelle est arrondie à la précision demandée ; il ne remet pas la solution en cause. derivative_coefficients énumère les coefficients par puissances décroissantes afin que vous puissiez vérifier la dérivation.

Repérer des points intérieurs fiables

L’algorithme rassemble d’abord les puissances identiques et évalue le polynôme par la méthode de Horner. Il construit ensuite la dérivée à partir des coefficients, puis isole récursivement ses racines réelles. Les racines de chaque dérivée découpent l’intervalle en zones où le polynôme étudié est monotone. Les changements de signe sont affinés par une dichotomie bornée, tandis que les limites stationnaires sont examinées séparément afin de conserver les racines multiples qui touchent zéro sans le franchir. Seules les racines strictement intérieures sont retenues : une dérivée nulle à une borne ne convient pas pour c. Toutes les boucles ont des limites fixes, le degré et la longueur de saisie sont plafonnés, et le calcul n’utilise ni réseau, ni hasard, ni horloge. Pour rédiger une solution, employez le point obtenu comme valeur numérique et exposez les étapes symboliques : calculez f(a) et f(b), rappelez qu’un polynôme est continu et dérivable, déterminez f', puis résolvez f'(c)=0 avec a<c<b. Vous reliez ainsi clairement le résultat aux hypothèses et à la conclusion du théorème.