Punkt nach dem Satz von Rolle berechnen

Die erste Stelle wird als Hauptergebnis ausgegeben, weitere gültige Stellen bleiben sichtbar. So können Sie Aufgaben kontrollieren, Musterlösungen erstellen und Analysisübungen automatisieren, ohne die entscheidende Randbedingung einfach vorauszusetzen.

Was der Satz von Rolle garantiert

Der Satz von Rolle gilt, wenn eine Funktion auf einem geschlossenen Intervall stetig, im zugehörigen offenen Intervall differenzierbar ist und an beiden Grenzen denselben Wert besitzt. Jedes Polynom erfüllt die Bedingungen der Stetigkeit und Differenzierbarkeit automatisch. Entscheidend ist daher die Prüfung f(a)=f(b). Ist sie erfüllt, existiert mindestens eine Zahl c strikt zwischen a und b, für die f'(c)=0 gilt. Geometrisch besitzt der Graph zwischen zwei gleich hohen Randpunkten eine waagerechte Tangente. Dieser Rechner wertet beide Randstellen aus, bevor er die Gleichung der Ableitung löst; die Eingabe eines Intervalls allein wird nicht als Beleg für die Anwendbarkeit angesehen. Weichen die Werte um mehr als eine kleine, skalengerechte numerische Toleranz voneinander ab, erhalten Sie einen Eingabefehler. Diese Unterscheidung ist wesentlich: Ein Polynom kann trotz ungleicher Randwerte kritische Stellen haben, doch der Satz von Rolle garantiert sie dann nicht für das eingegebene Intervall. Der gemeinsame Randwert im Ergebnis dokumentiert deshalb die Voraussetzung, auf der die Schlussfolgerung beruht.

Polynom eingeben und Ergebnis lesen

Geben Sie das Polynom mit x als Variable, Dezimalkoeffizienten und einem Zirkumflex für Potenzen ein, beispielsweise x^3 - 3x oder 2x^4 - 8x^2 + 6. Das Multiplikationszeichen ist optional, sodass 4*x und 4x dasselbe bedeuten. Exponenten müssen nichtnegative ganze Zahlen sein; verarbeitet werden Grade bis zwölf. Tragen Sie anschließend interval_start und interval_end ein, wobei die linke Grenze kleiner als die rechte sein muss. Das Feld point enthält die am weitesten links liegende zulässige Stelle c. Damit steht eine stabile Einzelantwort bereit, wenn eine Aufgabe nach „dem Punkt“ fragt. Das Array points führt alle verschiedenen Nullstellen der Ableitung im Inneren auf, denn Rolle garantiert Existenz, aber keine Eindeutigkeit. Jeder Eintrag enthält außerdem den Wert der Ableitung an der gerundeten Stelle. Bei einer irrationalen Nullstelle kann durch die gewählte Rundung ein winziger Rest erscheinen; die Lösung bleibt dennoch gültig. derivative_coefficients nennt die Koeffizienten nach fallenden Potenzen, damit Sie die Ableitung unabhängig prüfen oder das Ableitungspolynom rekonstruieren können.

Wie zuverlässige innere Stellen bestimmt werden

Der Algorithmus fasst zunächst gleiche Potenzen zusammen und wertet das Polynom mit dem Horner-Schema aus. Anschließend erzeugt er die Ableitung direkt aus den Koeffizienten und isoliert deren reelle Nullstellen rekursiv. Die Nullstellen jeder weiteren Ableitung teilen das Intervall in Abschnitte, in denen das jeweils untersuchte Polynom monoton ist. Vorzeichenwechsel werden durch eine begrenzte Bisektion verfeinert. Stationäre Abschnittsgrenzen werden zusätzlich geprüft, damit mehrfache Nullstellen erhalten bleiben, bei denen der Graph die Nulllinie nur berührt. Berücksichtigt werden ausschließlich Stellen strikt innerhalb des offenen Intervalls; eine verschwindende Ableitung an einer Grenze ist kein zulässiges c. Sämtliche Schleifen sind fest begrenzt, Grad und Eingabelänge sind beschränkt, und die Berechnung nutzt weder Netzwerk noch Zufall oder Uhrzeit. Für eine schriftliche Lösung verwenden Sie den ausgegebenen Punkt als Zahlenwert und zeigen die symbolischen Schritte: Berechnen Sie f(a) und f(b), nennen Sie Stetigkeit und Differenzierbarkeit des Polynoms, bilden Sie f' und lösen Sie f'(c)=0 unter a<c<b. So bleibt das Resultat nachvollziehbar mit Voraussetzungen und Aussage des Satzes verbunden.