Inequação cúbica: raízes, sinais e intervalos

Informe os coeficientes de ax³ + bx² + cx + d e escolha uma comparação com zero. O resultado apresenta as raízes reais distintas, mostra o sinal em cada intervalo delimitado por elas e retorna o conjunto solução completo em notação de intervalos. A ferramenta trata cúbicas com uma, duas ou três raízes reais distintas sem depender de gráficos, tentativas aleatórias ou serviços externos.

Informe a cúbica na forma padrão

Reescreva a inequação para que um lado seja zero e o outro esteja na forma ax³ + bx² + cx + d. Depois, informe cada coeficiente real, inclusive zero para qualquer termo ausente. O coeficiente líder a não pode ser zero, pois isso tornaria a expressão quadrática ou de grau menor. Escolha < ou > quando as raízes precisarem ser excluídas, e <= ou >= quando a igualdade em uma raiz real fizer parte da resposta. Por exemplo, x³ - 2x² - 5x + 6 >= 0 deve ser inserida com a = 1, b = -2, c = -5, d = 6 e operador >=. Manter a comparação com zero é essencial: se o lado direito original não for zero, primeiro subtraia-o dos dois lados e reúna os termos semelhantes. Assim, você obtém os coeficientes exatos exigidos pelo resolvedor e evita um erro de sinal causado pela transferência parcial de uma expressão. Coeficientes decimais são aceitos quando finitos e dentro do limite publicado.

Leia as raízes e o quadro de sinais

Um polinômio contínuo só pode mudar de sinal onde é igual a zero; portanto, suas raízes reais dividem a reta numérica em intervalos. O resolvedor encontra todas as raízes reais distintas pela forma cúbica deprimida do método de Cardano, coloca-as em ordem e escolhe um valor de teste estritamente interno a cada intervalo resultante. Em seguida, avalia o polinômio original nesse valor e classifica todo o intervalo como positivo ou negativo. É o mesmo método de quadro de sinais ensinado em álgebra, exposto para que você possa conferir a conclusão em vez de receber apenas uma união final. Uma raiz repetida aparece uma única vez, pois cria apenas uma fronteira na reta. Se a multiplicidade for par, os sinais dos intervalos vizinhos permanecem iguais; se for ímpar, eles se invertem. O quadro exibe esse comportamento diretamente. As raízes são normalizadas em decimais estáveis, mantendo raízes inteiras simples reconhecíveis e fornecendo aproximações determinísticas úteis para raízes irracionais.

Interprete a notação de intervalos

Os intervalos da solução são exatamente as regiões do quadro cujo sinal atende à comparação escolhida. Parênteses indicam que uma extremidade foi excluída, enquanto colchetes indicam que uma raiz finita foi incluída porque o operador permite igualdade. O infinito sempre usa parêntese, pois representa uma direção, não uma extremidade atingível. Quando várias regiões separadas funcionam, o resolvedor as conecta com o símbolo de união. O símbolo de conjunto vazio significa que nenhum número real satisfaz a comparação. Ao consumir o resultado em código, consulte o array `solution_intervals`, que fornece cada componente separadamente; `solution_set` apresenta a notação habitual para leitura humana. O método é determinístico e avalia somente os coeficientes fornecidos, sendo apropriado para exercícios resolvidos, gabaritos automatizados e validações em um fluxo algébrico maior. Como em qualquer cálculo cúbico numérico, raízes irracionais são aproximadas; use o quadro de sinais correspondente, sem tratar uma raiz arredondada como expressão radical simbólica exata.