Solucionador de inequações logarítmicas com intervalos

Ele aceita logaritmos naturais, decimais e bases positivas explícitas diferentes de um. O cálculo também inverte corretamente o sentido quando a base está entre zero e um, por isso o resultado inclui a inequação transformada e a interseção com o domínio.

Insira uma inequação logarítmica compatível

Escreva o logaritmo à esquerda e uma constante numérica finita à direita. São aceitas formas como ln(2x + 1) <= 0, log(x) > 2, log10(x - 4) >= 1 e log_2(x - 1) > 3. A forma log sem indicação usa base dez, enquanto ln representa a base e. Uma base explícita vem depois do sublinhado, deve ser positiva e não pode ser igual a um. Dentro do logaritmo, o solucionador aceita um termo linear em x e uma constante opcional, com ou sem sinal de multiplicação. Essa gramática limitada mantém o resultado transparente e determinístico: toda expressão aceita é reduzida a duas inequações lineares, em vez de ser enviada a um mecanismo simbólico opaco. O lado direito precisa ser um número decimal, e a comparação deve usar um operador estrito ou inclusivo. Potências de x, produtos de variáveis, vários logaritmos, variáveis à direita ou comparações compostas são recusados com erro de entrada, sem produzir uma resposta plausível para uma forma não suportada. Esse limite torna a ferramenta adequada para aulas, conferência de respostas e testes de software nos quais um contrato bem definido importa tanto quanto o resultado.

Converta para a forma exponencial preservando o sentido correto

Quando a base é maior que um, o logaritmo é crescente. Portanto, o logaritmo de um argumento na base b ser maior que c equivale a o argumento ser maior que b elevado a c, mantendo o mesmo sinal de comparação. Uma base entre zero e um se comporta de outro modo porque seu logaritmo é decrescente. Nesse caso, toda comparação é invertida durante a conversão: se o logaritmo na base b de um argumento é maior que c, o argumento passa a ser menor que b elevado a c. A resposta apresenta a base, a monotonicidade, a forma exponencial, o limite calculado e a inequação linear transformada para deixar essa decisão visível. Por exemplo, o logaritmo de x na base um meio maior que um se converte em x menor que um meio, e não maior. Operadores inclusivos continuam inclusivos após a inversão necessária. O cálculo usa aritmética real finita e recusa limites que estourem para infinito ou caiam para zero, pois mostrar uma fronteira finita arredondada distorceria a solução. Nenhuma rede, aleatoriedade, data atual ou serviço remoto de álgebra participa; a mesma entrada válida sempre gera a mesma saída estruturada e os mesmos passos.

Respeite o domínio e interprete o intervalo

Um logaritmo real existe somente quando seu argumento é estritamente positivo. Essa restrição é calculada antes da comparação exponencial e depois intersectada com a inequação obtida na conversão. Isso é especialmente importante quando a condição transformada aponta para valores que atravessam o zero do argumento. Em ln(2x + 1) menor ou igual a zero, a conversão fornece 2x + 1 menor ou igual a um, mas o domínio também exige 2x + 1 maior que zero. A combinação produz um intervalo aberto em menos um meio e fechado em zero. A resposta informa o domínio separadamente e depois mostra uma solução legível e a notação de intervalo. Parênteses excluem extremidades, colchetes incluem extremidades finitas e o infinito sempre usa parêntese. Um resultado unilateral como x maior que nove aparece como (9, ∞), enquanto um resultado limitado pode aparecer como (-0.5, 0]. A lista de passos foi feita para explicação e auditoria: ela declara a condição de positividade, identifica se o logaritmo cresce ou decresce, mostra a conversão exponencial e registra a interseção final. O solucionador não omite o domínio mesmo quando a inequação convertida já implica positividade, pois exibi-lo faz parte da resolução correta de uma inequação logarítmica.