حل المتباينات التكعيبية: الجذور والإشارات والفترات

أدخلوا معاملات ax³ + bx² + cx + d واختاروا المقارنة مع الصفر. تعرض النتيجة الجذور الحقيقية المختلفة، وإشارة كثيرة الحدود في كل فترة تفصلها تلك الجذور، ومجموعة الحل الكاملة بترميز الفترات. وتعالج الدوال التكعيبية ذات جذر حقيقي مختلف واحد أو جذرين أو ثلاثة من دون رسوم بيانية أو تخمينات عشوائية أو خدمة خارجية.

أدخلوا كثيرة الحدود التكعيبية بالصورة القياسية

أعيدوا كتابة المتباينة بحيث يكون أحد الطرفين صفراً ويأخذ الطرف الآخر الصورة ax³ + bx² + cx + d. ثم أدخلوا كل معامل حقيقي، بما في ذلك الصفر لأي حد غير موجود. لا يجوز أن يكون المعامل الرئيس a صفراً، لأن التعبير سيصبح عندئذ تربيعياً أو من درجة أدنى. اختاروا < أو > عندما يجب استبعاد الجذور، واختاروا <= أو >= عندما تكون المساواة عند جذر حقيقي جزءاً من الإجابة. على سبيل المثال، تُدخل المتباينة x³ - 2x² - 5x + 6 >= 0 بالقيم a = 1 وb = -2 وc = -5 وd = 6 وبالمعامل >=. من المهم إبقاء المقارنة مع الصفر: إذا لم يكن الطرف الأيمن الأصلي صفراً، فاطرحوه أولاً من الطرفين واجمعوا الحدود المتشابهة. ينتج عن ذلك المعاملات الدقيقة التي تحتاج إليها الحاسبة، ويمنع خطأ الإشارة الناتج عن نقل جزء واحد فقط من التعبير. تُقبل المعاملات العشرية إذا كانت محدودة وضمن الحد المنشور للمعاملات.

اقرؤوا الجذور وجدول الإشارات

لا يمكن لكثيرة حدود متصلة أن تغيّر إشارتها إلا حيث تساوي صفراً، ولذلك تقسّم جذورها الحقيقية خط الأعداد إلى فترات. تستخرج الحاسبة جميع الجذور الحقيقية المختلفة باستعمال الصورة التكعيبية المخفّضة من طريقة Cardano، وترتّبها، ثم تختار قيمة اختبار تقع داخل كل فترة ناتجة حصراً. وتقيّم كثيرة الحدود الأصلية عند قيمة الاختبار وتصف الفترة كلها بأنها موجبة أو سالبة. وهذه هي طريقة جدول الإشارات نفسها المعروفة في الجبر، لكنها معروضة بوضوح كي تتمكنوا من تدقيق النتيجة بدلاً من تلقي اتحاد نهائي فقط. يظهر الجذر المكرر مرة واحدة في القائمة لأنه ينشئ حداً واحداً على خط الأعداد. إذا كان تكراره زوجياً بقيت إشارتا الفترتين المجاورتين متماثلتين، وإذا كان فردياً انعكستا. يبيّن الجدول هذا السلوك مباشرة. وتُطبّع الجذور إلى قيم عشرية مستقرة، فتظل الجذور الصحيحة البسيطة سهلة التمييز، بينما تحصل الجذور غير النسبية على تقريب حتمي مفيد.

فسّروا ترميز الفترات

فترات الحل هي بالضبط مناطق الجدول التي تحقق إشارتها المقارنة المختارة. يدل القوس المستدير على استبعاد الطرف، بينما يدل القوس المربع على إدراج جذر حقيقي منتهٍ لأن المعامل يسمح بالمساواة. ويُكتب ما لا نهاية دائماً مع قوس مستدير لأنه اتجاه وليس طرفاً يمكن بلوغه. عندما تحقق عدة مناطق منفصلة الشرط، تصل بينها الحاسبة برمز الاتحاد. ويعني رمز المجموعة الخالية أنه لا يوجد عدد حقيقي يحقق المقارنة. عند معالجة النتيجة برمجياً، راجعوا المصفوفة `solution_intervals`؛ فهي تعرض كل مكوّن على حدة، في حين يقدم `solution_set` الترميز المألوف المقروء. الطريقة حتمية ولا تقيّم سوى المعاملات المقدمة، لذلك تناسب التمارين المحلولة ومفاتيح الإجابة الآلية والتحقق ضمن سير عمل جبري أوسع. وكما في كل حساب تكعيبي عددي، تكون الجذور غير النسبية تقريبية؛ استخدموا جدول الإشارات المصاحب بدلاً من اعتبار الجذر المدوّر تعبيراً جذرياً رمزياً دقيقاً.