Calculadora de función inversa

Introduzca una función afín, una potencia entera desplazada o una función recíproca desplazada. La calculadora escribe la regla con y, intercambia x e y, despeja la nueva y e identifica el recorrido original que pasa a ser el dominio de la inversa. Las potencias pares requieren restringir una rama, pues sin ello no son inyectivas ni poseen función inversa.

Qué revierte realmente una función inversa

Una función inversa revierte la relación entre las entradas y las salidas de la función original. Si f lleva 4 a 11, su inversa debe llevar 11 de nuevo a 4. Esto no equivale a calcular un recíproco: f^(-1)(x) no significa 1/f(x). El procedimiento algebraico habitual comienza escribiendo y=f(x), intercambiando x e y y despejando y en la ecuación resultante. Ese intercambio refleja el hecho geométrico de que una función y su inversa son simétricas respecto de la recta y=x. Esta calculadora ejecuta esas operaciones para reglas afines, potencias enteras desplazadas y reglas recíprocas desplazadas con constantes numéricas. Los pasos muestran la transformación, mientras que la función normalizada y la inversa facilitan copiar el resultado. Puede comprobar la respuesta componiendo ambas reglas: f(f^(-1)(x)) y f^(-1)(f(x)) deben simplificarse a x allí donde los dominios correspondientes permitan ambas expresiones. Las condiciones del dominio importan en esa comprobación; una identidad algebraica fuera del conjunto permitido no demuestra que exista allí una inversa válida.

Por qué las potencias pares necesitan una rama restringida

Una función solo tiene función inversa cuando cada salida identifica exactamente una entrada. Las funciones lineales con pendiente distinta de cero cumplen esta prueba en todos los números reales, al igual que las transformaciones de potencia impar y las recíprocas en sus dominios naturales. Una potencia par es diferente: los puntos situados a igual distancia a la izquierda y a la derecha de su vértice producen la misma salida. Por ejemplo, x al cuadrado lleva tanto 3 como -3 a 9. Por ello, la calculadora exige un dominio como x>=0 o x<=0 para una potencia par, desplazado al vértice real cuando la expresión es a*(x-h)^n+k. Elegir x>=h conserva la rama derecha y genera la raíz positiva; elegir x<=h conserva la rama izquierda y genera la raíz negativa. Ninguna rama es siempre preferible. La elección correcta procede del problema, la gráfica o la aplicación original. La restricción forma parte de la definición, no es una nota opcional añadida tras resolver. Si falta o su límite no coincide con el vértice, la solicitud se rechaza en lugar de elegir una rama sin avisar.

Cómo interpretar el dominio inverso y verificar el resultado

El dominio de una inversa equivale al recorrido de la función original. Esta calculadora muestra por separado el dominio original, su recorrido y el dominio inverso para que la relación resulte visible. En una función lineal no constante y sin restricciones, los tres conjuntos son todos los números reales. Una función recíproca excluye del dominio original el valor de su asíntota vertical y excluye del recorrido el valor de su asíntota horizontal; ese valor excluido del recorrido pasa a ser una entrada prohibida para la inversa. En una potencia par desplazada, el valor k del vértice es un extremo del recorrido. Que este se extienda hacia arriba o abajo depende del signo del coeficiente principal a; por tanto, el dominio inverso es x>=k si a es positivo y x<=k si es negativo. Tras obtener el resultado, pruebe algunos valores permitidos en ambos sentidos y confirme que la composición devuelve el valor inicial. Compruebe también de forma explícita los extremos excluidos y las asíntotas. El solucionador acepta deliberadamente una gramática concreta en vez de fingir que entiende cualquier notación; use constantes numéricas explícitas y una de las formas documentadas para obtener resultados previsibles.