حاسبة الدالة العكسية

أدخل دالة تآلفية، أو قوة صحيحة مزاحة، أو دالة مقلوب مزاحة. تعيد الحاسبة كتابة القاعدة باستعمال y، ثم تبدّل x وy، وتحل لإيجاد y الجديدة، وتحدّد مدى الدالة الأصلية الذي يصبح مجال الدالة العكسية. تتطلب القوى الزوجية تقييد أحد الفرعين، لأنها من دون ذلك لا تكون متباينة ولا تمتلك دالة عكسية.

ما الذي تعكسه الدالة العكسية فعليًا

تعكس الدالة العكسية العلاقة بين مدخلات الدالة الأصلية ومخرجاتها. فإذا كانت f ترسل 4 إلى 11، وجب أن تعيد الدالة العكسية 11 إلى 4. وهذا يختلف عن أخذ المقلوب، إذ لا يعني f^(-1)(x) التعبير 1/f(x). تبدأ الطريقة الجبرية المعتادة بكتابة y=f(x)، ثم تبديل x وy، وحل المعادلة الناتجة لإيجاد y. ويعبّر هذا التبديل هندسيًا عن كون منحنيي الدالة وعكسها صورتين متناظرتين حول المستقيم y=x. تنفّذ الحاسبة هذه العمليات للقواعد التآلفية، والقوى الصحيحة المزاحة، وقواعد المقلوب المزاحة ذات الثوابت العددية. توضّح الخطوات التحويل، بينما تسهّل الصيغة الموحّدة للدالة وعكسها نسخ النتيجة. يمكن التحقق من الجواب بتركيب القاعدتين؛ إذ ينبغي أن يُختزل كل من f(f^(-1)(x)) وf^(-1)(f(x)) إلى x حيث يسمح المجالان المعنيان بالتعبيرين. شروط المجال مهمة في هذا الاختبار، فالهوية الجبرية الظاهرية خارج المجموعة المسموح بها لا تثبت وجود دالة عكسية صالحة هناك.

لماذا تحتاج القوى الزوجية إلى فرع مقيّد

لا تمتلك الدالة دالة عكسية إلا إذا كان كل ناتج يحدّد مدخلًا واحدًا بالضبط. تحقق الدوال الخطية ذات الميل غير الصفري هذا الشرط على جميع الأعداد الحقيقية، وكذلك تحويلات القوى الفردية وتحويلات المقلوب على مجالاتها الطبيعية. أما القوة الزوجية فتختلف؛ لأن النقطتين المتساويتين في البعد عن رأس المنحنى، إحداهما يمينه والأخرى يساره، تنتجان القيمة نفسها. فمثلًا يرسل تربيع x كلًا من 3 و-3 إلى 9. لذلك تشترط الحاسبة مجالًا مثل x>=0 أو x<=0 للقوة الزوجية، مع نقل الحد إلى الرأس الحقيقي عندما يكون التعبير a*(x-h)^n+k. يحافظ اختيار x>=h على الفرع الأيمن ويعطي الجذر الموجب، بينما يحافظ x<=h على الفرع الأيسر ويعطي الجذر السالب. لا يوجد فرع أفضل في جميع الحالات؛ فالاختيار الصحيح تحدّده المسألة الأصلية أو الرسم البياني أو التطبيق. القيد جزء من تعريف الدالة وليس ملاحظة اختيارية تضاف بعد الحل. إذا غاب القيد أو لم يطابق حدّه الرأس، تُرفض الطلبية بدل اختيار فرع ضمنيًا.

قراءة مجال الدالة العكسية والتحقق من النتيجة

يساوي مجال الدالة العكسية مدى الدالة الأصلية. تعرض هذه الحاسبة مجال الدالة الأصلية ومداها ومجال عكسها كلًا على حدة كي تبقى العلاقة واضحة. في الدالة الخطية غير الثابتة وغير المقيّدة، تكون المجموعات الثلاث هي جميع الأعداد الحقيقية. تستبعد دالة المقلوب قيمة خط التقارب الرأسي من مجالها الأصلي، وتستبعد قيمة خط التقارب الأفقي من مداها؛ ثم تصبح قيمة المدى المستبعدة مدخلًا ممنوعًا للدالة العكسية. في القوة الزوجية المزاحة، تكون قيمة الرأس k حدًا للمدى. ويتوقف امتداد المدى إلى أعلى أو أسفل على إشارة المعامل الرئيس a، ولذلك يكون مجال العكس x>=k إذا كان a موجبًا وx<=k إذا كان سالبًا. بعد الحصول على النتيجة، اختبر عدة قيم مسموح بها في الاتجاهين وتأكد من أن التركيب يعيد قيمة البداية. وافحص كذلك الحدود المستبعدة وخطوط التقارب صراحة. تتعمد الحاسبة قبول قواعد كتابة محددة بدل الادعاء بفهم أي ترميز؛ لذا استخدم ثوابت عددية صريحة وإحدى الصيغ الموثقة للحصول على نتائج متوقعة.