Calculadora de função inversa

Insira uma função afim, uma potência inteira deslocada ou uma função recíproca deslocada. A calculadora reescreve a regra com y, troca x por y, isola o novo y e identifica a imagem original que se torna o domínio da inversa. Potências pares exigem a restrição de um ramo, pois sem ela não são injetivas e não possuem função inversa.

O que uma função inversa realmente reverte

Uma função inversa reverte a relação entre entradas e saídas da função original. Se f leva 4 a 11, sua inversa deve levar 11 de volta a 4. Isso é diferente de calcular um recíproco: f^(-1)(x) não significa 1/f(x). O procedimento algébrico padrão começa escrevendo y=f(x), trocando x e y e isolando y na equação resultante. Essa troca representa o fato geométrico de que uma função e sua inversa são imagens refletidas em relação à reta y=x. Esta calculadora executa essas operações para regras afins, potências inteiras deslocadas e regras recíprocas deslocadas com constantes numéricas. As etapas exibem a transformação, e as formas normalizadas facilitam a cópia do resultado. Você pode conferir a resposta compondo as duas regras: f(f^(-1)(x)) e f^(-1)(f(x)) devem se simplificar para x onde os domínios relevantes permitirem ambas as expressões. As condições do domínio são essenciais nessa verificação; uma identidade algébrica aparente fora do conjunto permitido não comprova uma função inversa válida naquele ponto.

Por que potências pares precisam de um ramo restrito

Uma função só possui inversa quando cada saída identifica exatamente uma entrada. Funções lineares com inclinação diferente de zero passam nesse teste em todos os números reais, assim como transformações de potência ímpar e recíprocas em seus domínios naturais. Uma potência par é diferente: pontos à mesma distância à esquerda e à direita do vértice geram a mesma saída. Por exemplo, x ao quadrado leva tanto 3 quanto -3 a 9. Por isso, a calculadora exige um domínio como x>=0 ou x<=0 para uma potência par, deslocado até o vértice correto quando a expressão é a*(x-h)^n+k. Escolher x>=h mantém o ramo direito e produz a raiz positiva; escolher x<=h mantém o ramo esquerdo e produz a raiz negativa. Nenhum ramo é sempre preferível. A escolha correta depende do problema, gráfico ou uso original. A restrição faz parte da definição, não é uma observação opcional acrescentada depois da resolução. Se ela estiver ausente ou se seu limite não coincidir com o vértice, a solicitação será rejeitada em vez de selecionar um ramo silenciosamente.

Como interpretar o domínio inverso e conferir o resultado

O domínio de uma inversa é igual à imagem da função original. Esta calculadora informa separadamente o domínio original, a imagem original e o domínio inverso para deixar essa relação clara. Em uma função linear não constante e irrestrita, os três conjuntos contêm todos os números reais. Uma função recíproca exclui do domínio original o valor da assíntota vertical e exclui da imagem o valor da assíntota horizontal; esse valor excluído passa a ser uma entrada proibida para a inversa. Em uma potência par deslocada, o valor k do vértice é uma extremidade da imagem. A direção da imagem depende do sinal do coeficiente principal a, portanto o domínio inverso é x>=k quando a é positivo e x<=k quando é negativo. Depois de receber o resultado, teste alguns valores permitidos nas duas direções e confirme que a composição devolve o valor inicial. Verifique também explicitamente extremidades excluídas e assíntotas. O solucionador aceita de propósito uma gramática específica, em vez de fingir que entende qualquer notação; use constantes numéricas explícitas e uma das formas documentadas para obter resultados previsíveis.