Calcolatore del metodo di Taylor per equazioni differenziali

Inserisca l’espressione della derivata, il punto iniziale, un valore obiettivo di x, un passo positivo e un ordine compreso fra uno e quattro. Il risultato mostra ogni punto accettato e rende visibili il coefficiente di Taylor e l’incremento utilizzati a ciascun ordine, risultando utile sia nel calcolo numerico sia nella verifica di una soluzione svolta a mano.

Descriva chiaramente il problema ai valori iniziali

Nel campo dell’equazione scriva soltanto il membro destro dell’equazione differenziale. Per esempio, inserisca x + y per y' = x + y. Le variabili x e y possono essere combinate con numeri, parentesi, addizione, sottrazione, moltiplicazione, divisione, potenze e con le funzioni exp, log, sin, cos e sqrt. Fornisca quindi x0 e y0 per definire la condizione nota y(x0) = y0. Il campo target_x indica dove deve terminare l’approssimazione. step_size va sempre indicato come distanza massima positiva; il calcolatore determina la direzione confrontando x0 e target_x, quindi può integrare sia in avanti sia all’indietro. Se l’intervallo non è un multiplo esatto del passo richiesto, l’ultimo passo viene accorciato. In questo modo il valore finale si trova esattamente in target_x, senza superarlo né fermarsi prima senza avviso. Scriva la moltiplicazione in modo esplicito, per esempio 2*x anziché 2x, e racchiuda tra parentesi gli argomenti delle funzioni. Sintassi non valida, nomi non supportati, divisioni per zero ed errori nel dominio reale vengono segnalati come errori di input, evitando di produrre una tabella numerica fuorviante.

Comprenda come vengono calcolati i termini di ordine superiore

Un metodo di Taylor avanza da un punto formando y(x+h) come somma di y e di una successione di termini derivati. L’ordine uno conserva soltanto h y', cioè il noto metodo di Eulero. L’ordine due aggiunge h al quadrato moltiplicato per y''/2!, mentre gli ordini tre e quattro proseguono nello stesso modo. Il dettaglio fondamentale è che le derivate superiori non vengono stimate da campioni vicini. A ogni passo il calcolatore rappresenta x e y come serie di potenze troncate e valuta f(x,y) mediante l’aritmetica delle serie. Uguagliando i coefficienti in y' = f(x,y), ricava uno dopo l’altro i nuovi coefficienti. Nell’output, coefficient indica y^(n)/n! all’inizio del passo per l’ordine n. increment è tale coefficiente moltiplicato per h^n. Sommando tutti gli incrementi visualizzati al precedente valore di y si ottiene il successivo valore della tabella. Lei può così confrontare ogni termine con una derivazione teorica, individuare un errore di segno o di fattoriale e vedere quando i termini successivi diventano abbastanza grandi da rendere opportuno un passo diverso.

Scelga con attenzione l’ordine e la dimensione del passo

Aumentare l’ordine migliora spesso un’approssimazione di Taylor quando la soluzione è regolare e il passo resta in una regione in cui la serie si comporta bene, ma l’ordine da solo non garantisce l’accuratezza. Un passo più piccolo fornisce in genere un risultato più affidabile al costo di un maggior numero di iterazioni. Una verifica utile consiste nell’eseguire due volte lo stesso problema dimezzando il passo e nel confrontare i valori finali di y. Se la differenza è significativa, riduca nuovamente il passo o valuti se un metodo di Taylor di basso ordine sia adatto all’equazione. Presti attenzione alle espressioni i cui denominatori si avvicinano a zero e agli argomenti di log o sqrt che escono dal dominio reale. Il calcolatore rifiuta un passo quando l’aritmetica diventa non finita, ma non può dimostrare che un’approssimazione apparentemente finita sia accurata sull’intero intervallo. Inoltre non adatta automaticamente il passo e non fornisce un limite rigoroso dell’errore. Consideri i termini mostrati come evidenza numerica trasparente, non come una soluzione in forma chiusa. Per equazioni rigide, membri destri discontinui o calcoli scientifici ad alta precisione, confronti il risultato con un solutore adattivo adeguato e con un’analisi dell’errore specifica del settore.