Rechner für das Taylorverfahren bei Differentialgleichungen

Geben Sie den Ableitungsausdruck, den Anfangspunkt, einen Zielwert für x, eine positive Schrittweite und eine Ordnung von eins bis vier ein. Das Ergebnis führt jeden angenommenen Punkt auf und weist für jede Ordnung den verwendeten Taylor-Koeffizienten sowie den Zuwachs aus. Damit eignet es sich für numerische Berechnungen und zur Kontrolle einer handschriftlichen Lösung.

Beschreiben Sie das Anfangswertproblem eindeutig

Tragen Sie in das Gleichungsfeld nur die rechte Seite der Differentialgleichung ein. Geben Sie beispielsweise x + y für y' = x + y an. Sie können die Variablen x und y mit Zahlen, Klammern, Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division, Potenzen sowie den Funktionen exp, log, sin, cos und sqrt verbinden. Legen Sie anschließend mit x0 und y0 die bekannte Bedingung y(x0) = y0 fest. Das Feld target_x bestimmt, wo die Näherung enden soll. step_size wird stets als positiver maximaler Abstand eingegeben; der Rechner ermittelt die Richtung aus x0 und target_x und kann daher vorwärts oder rückwärts integrieren. Ist das Intervall kein ganzzahliges Vielfaches der gewünschten Schrittweite, wird der letzte Schritt verkürzt. So liegt der zuletzt ausgegebene Wert exakt bei target_x, statt das Ziel zu überschreiten oder unbemerkt davor anzuhalten. Schreiben Sie Multiplikationen ausdrücklich als 2*x statt 2x und setzen Sie Funktionsargumente in Klammern. Ungültige Syntax, unbekannte Namen, Division durch null und Fehler im reellen Definitionsbereich werden als Eingabefehler gemeldet und führen nicht zu einer irreführenden Zahlentabelle.

Verstehen Sie die Berechnung der Terme höherer Ordnung

Ein Taylorverfahren geht von einem Punkt aus weiter, indem es y(x+h) als Summe von y und mehreren Ableitungstermen bildet. Bei Ordnung eins bleibt nur h y' erhalten; dies entspricht dem bekannten Eulerverfahren. Ordnung zwei berücksichtigt zusätzlich das Quadrat von h multipliziert mit y''/2!, und die Ordnungen drei und vier setzen dieses Schema fort. Entscheidend ist, dass höhere Ableitungen nicht aus benachbarten Stichproben geschätzt werden. Der Rechner stellt x und y in jedem Schritt als abgeschnittene Potenzreihen dar und wertet f(x,y) durch Potenzreihenarithmetik aus. Der Koeffizientenvergleich in y' = f(x,y) liefert nacheinander jeden neuen Koeffizienten. In der Ausgabe bezeichnet coefficient für die Ableitungsordnung n den Wert y^(n)/n! am Anfang des Schritts. increment ist dieser Koeffizient multipliziert mit h^n. Werden alle angezeigten Zuwächse zum vorherigen y addiert, ergibt sich der nächste Tabellenwert. Dadurch können Sie einzelne Terme mit einer Herleitung im Lehrbuch vergleichen, Vorzeichen- oder Fakultätsfehler erkennen und feststellen, wann spätere Terme so groß werden, dass die gewählte Schrittweite hinterfragt werden sollte.

Wählen Sie Ordnung und Schrittweite mit Bedacht

Eine höhere Ordnung verbessert eine Taylor-Näherung häufig, wenn die Lösung glatt ist und der Schritt in einem Bereich bleibt, in dem sich die Reihe gut verhält. Die Ordnung allein garantiert jedoch keine Genauigkeit. Eine kleinere Schrittweite liefert oft ein zuverlässigeres Ergebnis, erfordert dafür aber mehr Iterationen. Eine sinnvolle Kontrolle besteht darin, dasselbe Problem zweimal mit halbierter Schrittweite zu berechnen und die abschließenden y-Werte zu vergleichen. Unterscheiden sie sich deutlich, verkleinern Sie den Schritt erneut oder prüfen Sie, ob ein Taylorverfahren niedriger Ordnung für die Gleichung geeignet ist. Achten Sie auf Ausdrücke, deren Nenner gegen null gehen, und auf Argumente von log oder sqrt, die den reellen Definitionsbereich verlassen. Der Rechner verwirft einen Schritt, sobald die Arithmetik nicht endlich wird. Er kann jedoch nicht beweisen, dass eine scheinbar endliche Näherung über das gesamte Intervall genau ist. Die Schrittweite wird auch nicht automatisch angepasst, und eine strenge Fehlerschranke wird nicht angegeben. Betrachten Sie die dargestellten Terme als nachvollziehbare numerische Belege und nicht als geschlossene Lösung. Für steife Gleichungen, unstetige rechte Seiten oder hochgenaue wissenschaftliche Aufgaben sollten Sie mit einem geeigneten adaptiven Löser und einer fachspezifischen Fehleranalyse vergleichen.