PDF de distribución gamma

Introduzca una forma positiva, una tasa positiva y el valor de x; recibirá la densidad y su logaritmo natural. Esta parametrización por tasa resulta útil en modelos de fiabilidad, tiempos de espera, seguros e inferencia bayesiana. También identifica correctamente el comportamiento en cero, incluido el caso singular para formas inferiores a uno, sin confundir la tasa con la escala.

Introduzca la forma, la tasa y el punto de evaluación

En esta herramienta, dos parámetros positivos determinan la distribución gamma. La forma controla el perfil general: un valor inferior a uno genera una curva que desciende desde una singularidad en cero; una forma igual a uno produce la distribución exponencial; y las formas mayores crean una densidad que primero aumenta y después disminuye. La tasa controla cuánto se concentran los valores cerca de cero. Introduzca directamente la tasa, no la escala. Si su fuente proporciona la escala, conviértala mediante tasa = 1 / escala antes de calcular. Por último, indique x, el punto no negativo donde desea evaluar la densidad. El resultado es una densidad, no la probabilidad de observar exactamente x. En una distribución continua, la probabilidad de un punto exacto es cero; para probabilidades de intervalos debe integrar la densidad o utilizar una función de distribución acumulada. Todos los datos deben ser finitos. La forma y la tasa han de ser estrictamente positivas; x puede ser cero, pero nunca negativo.

Interprete la fórmula y el resultado numérico

La calculadora aplica f(x) = rate^shape × x^(shape - 1) × exp(-rate × x) / Gamma(shape) para x mayor o igual que cero. Evaluar directamente esos factores puede provocar desbordamiento o subdesbordamiento aunque el resultado final sea representable, por lo que el algoritmo trabaja primero en espacio logarítmico. Calcula shape × log(rate) + (shape - 1) × log(x) - rate × x - logGamma(shape), con una aproximación fija de Lanczos para logGamma, y después aplica la exponencial. La log-densidad devuelta ayuda a comparar contribuciones de verosimilitud muy pequeñas porque puede seguir siendo finita cuando la densidad ordinaria se redondea a cero. Para x = 0 se aplican los límites exactos sin calcular log(0): la densidad vale cero si la forma supera uno, coincide con la tasa si la forma es uno y no está acotada si la forma es inferior a uno. Ese último valor se representa como “Infinity” y se señala de forma explícita para conservar un JSON válido.

Utilice los valores de densidad correctamente

Una densidad de probabilidad puede ser mayor que uno, sobre todo cuando la distribución está muy concentrada, sin infringir las reglas de probabilidad. Lo que debe valer uno es el área total bajo la curva en todo el soporte. Puede emplear el resultado para evaluar verosimilitudes, comparar parámetros candidatos, inspeccionar un modelo ajustado o obtener puntos para un gráfico. No interprete la densidad como porcentaje ni como probabilidad de que la variable sea exactamente x. Si combina densidades de numerosas observaciones, sume las log-densidades devueltas; así reduce el subdesbordamiento numérico y sigue el procedimiento habitual de máxima verosimilitud. Revise con atención la parametrización, pues las bibliotecas estadísticas alternan entre tasa y escala. Esta calculadora siempre utiliza la tasa, con la relación escala = 1 / tasa. Compruebe la convención de cualquier artículo, hoja de cálculo o programa antes de comparar resultados. Los cálculos usan aritmética de doble precisión de JavaScript y una aproximación determinista; para rangos científicos extremos o certificación numérica formal conviene utilizar software de precisión arbitraria.