كثافة توزيع غاما

أدخلوا شكلاً موجباً ومعدلاً موجباً وقيمة x، فتحصلون على الكثافة ولوغاريتمها الطبيعي. تفيد هذه الصياغة المعتمدة على المعدل في نماذج الموثوقية وأزمنة الانتظار والتأمين والاستدلال البايزي. وتعالج الأداة أيضاً السلوك الدقيق عند الصفر، بما في ذلك الحالة المفردة عندما يكون الشكل أقل من واحد، من دون استبدال المعدل بمعلمة المقياس ضمنياً.

أدخلوا الشكل والمعدل ونقطة التقييم

يحدد توزيع غاما في هذه الأداة معامِلان موجبان. يتحكم الشكل في الهيئة العامة: فالقيم الأقل من واحد تعطي منحنى يهبط من نقطة مفردة عند الصفر، والشكل المساوي لواحد يعطي التوزيع الأسي، أما الأشكال الأكبر فتنتج كثافة ترتفع أولاً ثم تنخفض. ويحدد المعدل مدى تركز القيم قرب الصفر. أدخلوا المعدل مباشرة لا المقياس. إذا كان المصدر يعرض المقياس، فحولوه قبل الحساب وفق rate = 1 / scale. ثم أدخلوا x بوصفها النقطة غير السالبة التي تريدون تقييم الكثافة عندها. الناتج كثافة وليس احتمال مشاهدة x نفسها تماماً. في التوزيع المستمر يكون احتمال النقطة المنفردة صفراً؛ أما احتمال فترة فيتطلب تكامل الكثافة أو استخدام دالة التوزيع التراكمي. يجب أن تكون جميع المدخلات أعداداً منتهية. ويجب أن يكون الشكل والمعدل أكبر من الصفر قطعاً، بينما يجوز أن تساوي x صفراً ولا يجوز أن تكون سالبة. تمنع هذه الضوابط المعلمات غير المعرفة من إنتاج أرقام تبدو معقولة خطأً.

افهموا الصيغة والنتيجة العددية

تستخدم الأداة الصيغة f(x) = rate^shape × x^(shape - 1) × exp(-rate × x) / Gamma(shape) عندما تكون x أكبر من الصفر أو مساوية له. قد يؤدي حساب العوامل مباشرة إلى تجاوز عددي أو اضمحلال عددي حتى حين تكون الكثافة النهائية قابلة للتمثيل، لذلك يبدأ التنفيذ في المجال اللوغاريتمي. فهو يحسب shape × log(rate) + (shape - 1) × log(x) - rate × x - logGamma(shape)، باستخدام تقريب Lanczos ثابت للدالة logGamma، ثم يأخذ الدالة الأسية. يفيد لوغاريتم الكثافة المعاد في مقارنة مساهمات الإمكان الصغيرة جداً، لأنه قد يبقى منتهياً بعدما تقرب الكثافة العادية إلى الصفر. وعند x = 0 يطبق التنفيذ النهايات الدقيقة بدلاً من حساب log(0): تكون الكثافة صفراً عندما يزيد الشكل على واحد، وتساوي المعدل عندما يساوي الشكل واحداً، وتكون غير محدودة عندما يقل الشكل عن واحد. تمثل القيمة غير المحدودة بالسلسلة “Infinity” مع وسم صريح كي تظل الاستجابة بصيغة JSON صالحة.

استخدموا قيم الكثافة استخداماً صحيحاً

قد تزيد كثافة الاحتمال على واحد، ولا سيما عندما يكون التوزيع شديد التركز، ولا يخالف ذلك قواعد الاحتمال. الذي يجب أن يساوي واحداً هو المساحة الكلية تحت المنحنى على كامل مجال التوزيع. استخدموا النتيجة لتقييم الإمكانات، أو مقارنة معلمات مرشحة، أو فحص نموذج ملائم، أو توليد نقاط للرسم. لا تفسروا الكثافة نفسها كنسبة مئوية أو كاحتمال أن يساوي المتغير x تماماً. عند ضرب كثافات مشاهدات كثيرة، اجمعوا لوغاريتمات الكثافة المعادة بدلاً من ذلك؛ فهذا يقلل الاضمحلال العددي ويتوافق مع إجراءات الإمكان الأعظم الشائعة. تستحق صياغة المعلمات عناية خاصة لأن المكتبات الإحصائية تتناوب بين المعدل والمقياس. تستخدم هذه الأداة المعدل دائماً، والعلاقة هي scale = 1 / rate. تحققوا من الاصطلاح في أي بحث أو جدول بيانات أو برنامج قبل مقارنة النتائج. تعتمد الحسابات على حساب JavaScript مزدوج الدقة وتقريب حتمي، وهو مناسب للحسابات الإحصائية المعتادة، لكنه لا يغني عن برامج الدقة الاعتباطية في المجالات العلمية المتطرفة أو التحقق العددي الرسمي.