Densité de la loi gamma

Saisissez une forme positive, un taux positif et la valeur de x pour obtenir la densité ainsi que son logarithme naturel. Cette paramétrisation par le taux convient aux modèles de fiabilité, de temps d’attente, d’assurance et d’inférence bayésienne. Elle traite aussi exactement le comportement en zéro, y compris le cas singulier des formes inférieures à un, sans remplacer discrètement le taux par l’échelle.

Saisissez la forme, le taux et le point d’évaluation

Dans cet outil, deux paramètres positifs définissent la loi gamma. La forme détermine son allure générale : une valeur inférieure à un produit une courbe qui descend depuis une singularité en zéro, une forme égale à un donne la loi exponentielle, et une forme supérieure crée une densité qui augmente puis diminue. Le taux détermine la concentration des valeurs près de zéro. Saisissez directement le taux, et non l’échelle. Si votre source fournit une échelle, convertissez-la selon taux = 1 / échelle avant le calcul. Indiquez enfin x, le point non négatif auquel la densité doit être évaluée. Le résultat est une densité, pas la probabilité d’observer exactement x. Pour une loi continue, la probabilité en un point précis est nulle ; une probabilité sur un intervalle nécessite l’intégration de la densité ou une fonction de répartition. Toutes les entrées doivent être finies. La forme et le taux sont strictement positifs ; x peut être nul, mais jamais négatif.

Comprenez la formule et le résultat numérique

Le calculateur applique f(x) = rate^shape × x^(shape - 1) × exp(-rate × x) / Gamma(shape) lorsque x est supérieur ou égal à zéro. Le calcul direct de ces facteurs peut provoquer un dépassement ou un sous-dépassement même si la densité finale reste représentable ; l’algorithme commence donc dans l’espace logarithmique. Il calcule shape × log(rate) + (shape - 1) × log(x) - rate × x - logGamma(shape), avec une approximation fixe de Lanczos pour logGamma, puis prend l’exponentielle. La log-densité renvoyée facilite la comparaison de contributions de vraisemblance minuscules, car elle peut rester finie lorsque la densité ordinaire est arrondie à zéro. Pour x = 0, les limites exactes sont appliquées sans calculer log(0) : la densité vaut zéro si la forme dépasse un, le taux si la forme vaut un, et elle est non bornée si la forme est inférieure à un. Cette dernière valeur est représentée par “Infinity” et signalée explicitement afin que la réponse reste un JSON valide.

Employez correctement les valeurs de densité

Une densité de probabilité peut dépasser un, notamment lorsque la distribution est très concentrée, sans enfreindre les règles des probabilités. C’est l’aire totale sous la courbe sur tout le support qui doit valoir un. Utilisez le résultat pour évaluer des vraisemblances, comparer des paramètres candidats, examiner un modèle ajusté ou produire des points à tracer. Ne l’interprétez ni comme un pourcentage ni comme la probabilité que la variable soit exactement égale à x. Pour multiplier les densités de nombreuses observations, additionnez plutôt les log-densités renvoyées ; vous réduirez ainsi le sous-dépassement numérique conformément aux méthodes usuelles de maximum de vraisemblance. La paramétrisation exige de l’attention, car les bibliothèques statistiques emploient alternativement taux et échelle. Ce calculateur utilise toujours le taux, avec échelle = 1 / taux. Vérifiez la convention d’un article, tableur ou logiciel avant toute comparaison. Les résultats reposent sur l’arithmétique JavaScript en double précision et une approximation déterministe, adaptées aux calculs courants mais non à une certification numérique formelle sur des plages scientifiques extrêmes.