Dichte der Gamma-Verteilung

Geben Sie eine positive Form, eine positive Rate und x ein; Sie erhalten die Dichte und deren natürlichen Logarithmus. Diese Ratenparametrisierung eignet sich für Zuverlässigkeits-, Wartezeit-, Versicherungs- und bayessche Modelle. Auch das exakte Verhalten bei null wird berücksichtigt, einschließlich der Singularität für Formen unter eins, ohne die Rate stillschweigend als Skala zu behandeln.

Form, Rate und Auswertungspunkt eingeben

In diesem Rechner bestimmen zwei positive Parameter die Gamma-Verteilung. Die Form steuert den grundsätzlichen Verlauf: Werte unter eins ergeben eine Kurve, die von einer Singularität bei null abfällt; die Form eins entspricht der Exponentialverteilung; größere Formen erzeugen eine Dichte, die zunächst steigt und anschließend fällt. Die Rate legt fest, wie stark sich Werte in der Nähe von null konzentrieren. Geben Sie unmittelbar die Rate und nicht die Skala ein. Falls Ihre Quelle eine Skala nennt, rechnen Sie diese vor der Verwendung mit Rate = 1 / Skala um. Geben Sie anschließend x als den nichtnegativen Punkt an, an dem die Dichte ausgewertet werden soll. Das Ergebnis ist eine Dichte und nicht die Wahrscheinlichkeit, genau x zu beobachten. Bei einer stetigen Verteilung ist die Wahrscheinlichkeit eines einzelnen exakten Punktes null; Intervallwahrscheinlichkeiten erfordern die Integration der Dichte oder eine Verteilungsfunktion. Sämtliche Eingaben müssen endlich sein. Form und Rate müssen strikt positiv sein; x darf null, jedoch nicht negativ sein.

Formel und numerisches Ergebnis verstehen

Der Rechner verwendet f(x) = rate^shape × x^(shape - 1) × exp(-rate × x) / Gamma(shape) für x größer oder gleich null. Eine direkte Berechnung dieser Faktoren kann zu Überlauf oder Unterlauf führen, selbst wenn die endgültige Dichte darstellbar ist. Daher rechnet die Implementierung zunächst im logarithmischen Raum. Sie bestimmt shape × log(rate) + (shape - 1) × log(x) - rate × x - logGamma(shape), nutzt eine feste Lanczos-Näherung für logGamma und bildet danach die Exponentialfunktion. Die ausgegebene Log-Dichte hilft beim Vergleich sehr kleiner Likelihood-Beiträge, da sie endlich bleiben kann, wenn die gewöhnliche Dichte bereits auf null gerundet wird. Für x = 0 gelten die exakten Grenzwerte ohne Berechnung von log(0): Die Dichte ist null bei einer Form über eins, entspricht der Rate bei Form eins und ist bei einer Form unter eins unbeschränkt. Der unbeschränkte Wert erscheint als “Infinity” und wird ausdrücklich gekennzeichnet, damit die Antwort gültiges JSON bleibt.

Dichtewerte sachgerecht verwenden

Eine Wahrscheinlichkeitsdichte darf größer als eins sein, insbesondere bei einer stark konzentrierten Verteilung; dies verletzt keine Wahrscheinlichkeitsregel. Gleich eins sein muss die gesamte Fläche unter der Kurve über dem vollständigen Träger. Verwenden Sie das Ergebnis, um Likelihoods auszuwerten, mögliche Parameter zu vergleichen, ein angepasstes Modell zu untersuchen oder Punkte für eine Grafik zu erzeugen. Deuten Sie die Dichte weder als Prozentwert noch als Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Variable exakt x annimmt. Wenn Sie Dichten vieler Beobachtungen multiplizieren müssten, addieren Sie stattdessen die ausgegebenen Log-Dichten. Das verringert numerischen Unterlauf und entspricht üblichen Maximum-Likelihood-Verfahren. Beachten Sie die Parametrisierung, denn Statistikbibliotheken wechseln zwischen Rate und Skala. Dieser Rechner verwendet stets die Rate; es gilt Skala = 1 / Rate. Prüfen Sie vor einem Ergebnisvergleich die Konvention des jeweiligen Fachartikels, Tabellenblatts oder Programms. Die Ergebnisse beruhen auf JavaScript-Doppelpräzision und einer deterministischen Näherung. Für extreme wissenschaftliche Bereiche oder formale numerische Zertifizierung ist Software mit beliebiger Präzision erforderlich.