Carré d’un nombre complexe

Saisissez les composantes réelle et imaginaire de a + bi : l’identité du carré d’un binôme permet alors de produire les deux composantes du résultat. Le même calcul déterministe accepte les valeurs positives, négatives, décimales, purement réelles ou purement imaginaires. La réponse convient aux exercices d’algèbre, aux formules d’ingénierie, aux traitements logiciels et à la vérification rapide d’un calcul complexe effectué à la main.

Saisissez les composantes réelle et imaginaire

Commencez par écrire le nombre complexe sous la forme rectangulaire a + bi. Placez a dans le champ réel et b dans le champ imaginaire. Saisissez par exemple 3 et 4 pour 3 + 4i, ou 3 et -4 pour 3 - 4i. Les deux champs sont obligatoires, même lorsqu’une composante vaut zéro : un zéro indique explicitement sa valeur, tandis qu’un champ omis rend la saisie incomplète. Utilisez des nombres réels et n’ajoutez pas i à la composante imaginaire. Les entiers, les décimaux, les valeurs négatives et zéro sont acceptés s’ils sont finis. Le texte, l’infini et les composantes absentes déclenchent une erreur au lieu d’être convertis silencieusement. Cette règle aide les clients API à repérer rapidement les données incorrectes et évite une réponse trompeuse issue d’une conversion involontaire. Pour un réel pur comme 7, saisissez 7 et 0. Pour -5i, saisissez 0 et -5. Aucune conversion polaire ni aucun calcul d’angle ou de module n’est nécessaire.

Appliquez l’identité du carré d’un binôme

Le calcul découle directement de la multiplication du nombre par lui-même : (a + bi)(a + bi). Le développement donne a au carré + 2abi + b au carré multiplié par i au carré. Comme i au carré vaut -1, le dernier terme change de signe. Le regroupement produit (a au carré - b au carré) + (2ab)i. Le calculateur renvoie donc a au carré moins b au carré comme composante réelle, et deux fois a fois b comme composante imaginaire. Pour 3 + 4i, la composante réelle est 9 - 16, soit -7, tandis que la composante imaginaire est 2 fois 3 fois 4, soit 24. Le résultat rectangulaire est -7 + 24i. Les signes comptent dans les deux termes : une composante imaginaire négative devient positive lorsqu’elle est élevée au carré dans le calcul réel, mais rend 2ab négatif si a est positif. L’algorithme suit directement cette identité avec un nombre fixe d’opérations, sans hasard, accès réseau ni dépendance temporelle.

Lisez, vérifiez et réutilisez le résultat

La réponse présente des champs réel et imaginaire séparés, qui représentent x + yi sans vous obliger à analyser une chaîne mise en forme. Vous pouvez transmettre le carré à une autre équation, le conserver en JSON ou l’afficher selon les conventions de signe de votre application. Pour le vérifier, assurez-vous que x vaut a au carré moins b au carré et que y vaut 2ab. Une autre vérification porte sur les modules : le module du carré est égal au carré du module initial. De légers écarts au dernier chiffre peuvent toutefois apparaître avec des décimales, car JavaScript emploie une précision binaire finie. Conservez la précision renvoyée pendant les calculs intermédiaires et n’arrondissez qu’au moment de présenter une mesure. Une saisie dont le carré dépasserait la plage numérique finie est rejetée au lieu de produire l’infini, afin de préserver un JSON exploitable. Cet outil calcule un carré et non des racines carrées : chaque entrée possède un carré unique, tandis que la recherche des racines donne généralement deux valeurs. Chaque requête API automatisée coûte $0.002 et le calcul de niveau A peut également s’exécuter dans le navigateur.