Quadrat einer komplexen Zahl berechnen

Geben Sie den Real- und Imaginärteil von a + bi ein; anschließend liefert die binomische Formel beide Bestandteile des Ergebnisses. Dieselbe deterministische Berechnung verarbeitet positive und negative Zahlen, Dezimalwerte sowie rein reelle und rein imaginäre Eingaben. Das Ergebnis eignet sich für Algebraaufgaben, technische Formeln, Softwareabläufe oder zur schnellen Kontrolle einer von Hand ausgeführten komplexen Rechnung.

Geben Sie Real- und Imaginärteil ein

Schreiben Sie die komplexe Zahl zunächst in kartesischer Form a + bi. Tragen Sie a in das Feld für den Realteil und b in das Feld für den Imaginärteil ein. Für 3 + 4i verwenden Sie beispielsweise 3 und 4, für 3 - 4i dagegen 3 und -4. Beide Felder sind auch dann erforderlich, wenn ein Bestandteil null ist: Eine eingegebene Null bezeichnet einen bekannten Wert, ein ausgelassenes Feld hingegen eine unvollständige Eingabe. Verwenden Sie reelle Zahlen und hängen Sie an den Imaginärteil kein i an. Ganze Zahlen, Dezimalwerte, negative Werte und null sind zulässig, sofern sie endlich sind. Text, Unendlich und fehlende Bestandteile führen zu einem Eingabefehler und werden nicht stillschweigend umgewandelt. So erkennen API-Clients fehlerhafte Daten frühzeitig und erhalten kein scheinbar richtiges Ergebnis aus einer unbeabsichtigten Typumwandlung. Für die rein reelle Zahl 7 geben Sie 7 und 0 ein; für -5i verwenden Sie 0 und -5. Eine vorherige Umrechnung in Polarform oder die Berechnung von Winkel und Betrag ist nicht nötig.

Wenden Sie die binomische Formel an

Die Rechnung folgt unmittelbar aus der Multiplikation der Zahl mit sich selbst: (a + bi)(a + bi). Beim Ausmultiplizieren entstehen a zum Quadrat + 2abi + b zum Quadrat mal i zum Quadrat. Da i zum Quadrat gleich -1 ist, wechselt der letzte Term sein Vorzeichen. Zusammengefasst ergibt sich (a zum Quadrat - b zum Quadrat) + (2ab)i. Der Rechner liefert daher a zum Quadrat minus b zum Quadrat als Realteil und zweimal a mal b als Imaginärteil. Bei 3 + 4i beträgt der Realteil 9 - 16, also -7, und der Imaginärteil 2 mal 3 mal 4, also 24. Das kartesische Ergebnis lautet -7 + 24i. Die Vorzeichen sind in beiden Teilen wichtig: Ein negativer Imaginärteil wird beim Quadrieren für die reelle Rechnung positiv, macht 2ab bei positivem a jedoch negativ. Der Algorithmus setzt diese Identität direkt mit einer festen Anzahl von Rechenoperationen um und ist weder von Zufall noch von Netzwerk oder Uhrzeit abhängig.

Lesen, prüfen und verwenden Sie das Ergebnis

Die Antwort enthält getrennte Felder für Real- und Imaginärteil und stellt x + yi dar, ohne dass Sie eine formatierte Zeichenfolge zerlegen müssen. Sie können das Quadrat in eine weitere Gleichung übernehmen, als JSON speichern oder mit der Vorzeichenschreibweise Ihrer Anwendung anzeigen. Prüfen Sie das Ergebnis, indem Sie x mit a zum Quadrat minus b zum Quadrat und y mit 2ab vergleichen. Auch die Beträge bieten eine Kontrolle: Der Betrag einer quadrierten komplexen Zahl entspricht dem Quadrat des ursprünglichen Betrags. Bei Dezimalwerten können wegen der endlichen binären Gleitkommapräzision von JavaScript geringe Abweichungen in der letzten Stelle auftreten. Bewahren Sie die ausgegebene Genauigkeit in Zwischenschritten und runden Sie erst bei der Darstellung eines Messwerts. Eingaben, deren quadrierte Bestandteile den endlichen Zahlenbereich überschreiten, werden abgewiesen, statt Unendlich in ein unbrauchbares JSON zu schreiben. Dieses Werkzeug berechnet das Quadrat und keine Quadratwurzeln; jede Eingabe hat genau ein Quadrat, während die Wurzelsuche meist zwei Werte liefert. Automatisierte API-Anfragen kosten jeweils $0.002; die Tier-A-Berechnung kann außerdem im Browser laufen.