Calculateur du centre de masse à partir de la densité

Saisissez les coefficients ainsi que les extrémités gauche et droite. L’outil évalue analytiquement l’intégrale de masse totale et celle du premier moment, puis divise le moment par la masse. Les deux intégrales sont également affichées afin que vous puissiez contrôler le calcul dans un exercice d’analyse, de mécanique, d’ingénierie ou un traitement automatisé.

Décrivez la tige par une masse linéique polynomiale

Exprimez la masse linéique comme un polynôme de la position x et saisissez ses coefficients de la puissance la plus élevée au terme constant. Ainsi, [2, 1] désigne rho(x) = 2x + 1, tandis que [3, 0, -2] désigne rho(x) = 3x squared - 2. Conservez un zéro explicite pour chaque puissance absente afin que le degré reste sans ambiguïté. Les bornes inférieure et supérieure placent les extrémités de la tige sur le même axe que celui de la formule, et la borne supérieure doit être strictement plus grande. Toutes les valeurs doivent être finies et l’intégrale de masse doit être positive. Si x est en mètres et la densité en kilogrammes par mètre, la masse est en kilogrammes, le premier moment en kilogramme-mètres et le centre en mètres. Aucune unité n’est attribuée ni convertie : employez un système cohérent. Pour une tige physique, vérifiez aussi que la densité reste positive ou nulle sur tout l’intervalle.

Évaluez les intégrales de masse et de premier moment

Pour une tige allant de a à b et de masse linéique rho(x), la masse totale est l’intégrale définie de rho(x) entre ces bornes. Le premier moment par rapport à l’origine est l’intégrale de x multiplié par rho(x) sur le même intervalle. Chaque terme est intégré directement avec la règle des puissances. Un terme c fois x puissance n contribue à la masse par c fois x puissance n plus un, divisé par n plus un, évalué aux deux bornes. Pour le premier moment, la multiplication par x augmente d’abord l’exposant d’une unité. Le centre suit alors la formule x-bar = premier moment divisé par masse totale. Il n’y a ni maillage, ni itération, ni analyseur symbolique, ni quadrature numérique ; aucun pas ou seuil de convergence n’est donc nécessaire. Les champs total_mass et first_moment permettent de vérifier une primitive, de repérer un coefficient déplacé et de suivre les unités. Un dépassement de la plage numérique est refusé plutôt que converti en infini inutilisable.

Interprétez l’équilibre et contrôlez le modèle

La valeur center_of_mass est la coordonnée où la tige s’équilibrerait avec la densité fournie. Pour une densité positive constante, elle coïncide avec le milieu, car des longueurs égales renferment des masses égales. Si la densité augmente vers la droite, le centre se décale généralement vers la droite ; si la partie gauche est plus lourde, il se décale vers la gauche. Ces repères simples facilitent la détection d’erreurs. Avec une densité physique partout positive ou nulle et une masse positive, le centre doit se trouver entre les extrémités. Une position inattendue peut signaler des coefficients saisis dans l’ordre croissant, des coordonnées incohérentes ou un polynôme négatif sur une partie de l’intervalle. Le service exige une intégrale de masse positive, mais ne prouve pas la positivité ponctuelle : vous devez valider le modèle physique. Contrôlez le degré et les bornes renvoyés, gardez la valeur non arrondie pour les calculs suivants et n’arrondissez que lors de la présentation.