Verhältnis von Periapsis- und Apoapsisgeschwindigkeit

Geben Sie die Exzentrizität einer elliptischen Bahn ein; berechnet wird (1 + e) / (1 - e), eine dimensionslose Größe ohne Masse, Entfernung oder Einheitenumrechnung. Eine Kreisbahn ergibt 1, weil ihre Geschwindigkeit konstant ist. Nähert sich die Exzentrizität dem Wert 1, wächst der Unterschied stark. Werte ab 1 werden abgelehnt, weil solche Bahnen nicht beide Apsiden besitzen.

Bedeutung des Geschwindigkeitsverhältnisses an den Apsiden

Die Periapsis ist der Punkt, an dem ein umlaufender Körper dem Brennpunkt am nächsten ist; an der Apoapsis ist er am weitesten entfernt. Auf einer gebundenen Keplerbahn bewegt sich der Körper an der Periapsis am schnellsten und an der Apoapsis am langsamsten. Dieser Rechner teilt die Periapsisgeschwindigkeit durch die Apoapsisgeschwindigkeit. Für eine gültige elliptische Bahn beträgt das Ergebnis daher immer mindestens 1. Ein Wert von 3 bedeutet beispielsweise, dass die Geschwindigkeit an der Periapsis dreimal so groß ist wie an der Apoapsis. Er bedeutet nicht, dass eine der Geschwindigkeiten drei Einheiten pro Sekunde beträgt. Das Verhältnis ist dimensionslos und beschreibt einen Unterschied, keine absolute Geschwindigkeit. Nur die Exzentrizität ist erforderlich, weil sich beim Dividieren der beiden Apsisgeschwindigkeiten aufgrund der Drehimpulserhaltung sowohl der absolute Maßstab als auch die Zentralmasse herauskürzen. Dadurch können Sie Bahnformen vergleichen, auch wenn Größe, Umlaufzeit oder Zentralkörper verschieden sind. Bei einer Kreisbahn ist die Exzentrizität 0; die beiden Apsiden fallen begrifflich zusammen und das Verhältnis beträgt 1. Mit zunehmender Exzentrizität wird die Ellipse gestreckter und der Geschwindigkeitsunterschied zwischen dem nächsten und dem entferntesten Punkt größer.

Herleitung und Auswertung der Formel

An jeder Apsis steht die Geschwindigkeit senkrecht auf dem Ortsvektor. Der spezifische Drehimpuls lässt sich deshalb sowohl als Periapsisradius mal Periapsisgeschwindigkeit als auch als Apoapsisradius mal Apoapsisgeschwindigkeit schreiben. Werden beide Ausdrücke gleichgesetzt, ergibt sich: Die Periapsisgeschwindigkeit geteilt durch die Apoapsisgeschwindigkeit entspricht dem Apoapsisradius geteilt durch den Periapsisradius. Für eine Ellipse mit der großen Halbachse a und der Exzentrizität e lauten die Apsisradien a(1 + e) und a(1 - e). Bei ihrer Division kürzt sich a heraus; übrig bleibt der kompakte Ausdruck (1 + e) / (1 - e). Der Rechner prüft die angegebene Exzentrizität, wertet diesen Ausdruck direkt aus und gibt sowohl die normalisierte Eingabe als auch das Verhältnis zurück. Die Rechenschicht akzeptiert zur bequemeren API-Nutzung auch numerische Zeichenketten, obwohl der veröffentlichte Vertrag eine Zahl vorsieht. Ergebnisse werden auf fünfzehn signifikante Stellen gerundet, damit übliche Gleitkommaeffekte keine instabile Ausgabe erzeugen und dennoch eine sinnvolle Genauigkeit erhalten bleibt. Es werden keine Ephemeriden, Gravitationsparameter oder Bahnentfernungen abgefragt. Die Berechnung ist deterministisch, benötigt kein Netzwerk und liefert im Browser sowie über die API dasselbe Ergebnis.

Definitionsbereich und Deutung extremer Werte

Der zulässige Bereich lautet 0 kleiner oder gleich e und e kleiner als 1. Eine negative Exzentrizität gehört nicht zur üblichen geometrischen Konvention für Keplerellipsen und wird deshalb abgelehnt, statt unbemerkt umgewandelt zu werden. Eine Exzentrizität von genau 1 beschreibt eine Parabelbahn, ein Wert über 1 eine Hyperbelbahn. Beide besitzen keine endliche Apoapsis. Das Verhältnis von Periapsis- zu Apoapsisgeschwindigkeit ist dort nicht definiert, weshalb der Rechner einen Eingabefehler meldet. In der Nähe von 1 wird der Nenner 1 - e sehr klein und das Verhältnis wächst schnell. Dieses Verhalten ist mathematisch zu erwarten und bedeutet nicht, dass eine absolute Geschwindigkeit auf einer real entworfenen Bahn unendlich wird. Es zeigt vielmehr, dass die ideale Zweikörperellipse einen sehr großen relativen Unterschied zwischen ihren Apsisgeschwindigkeiten aufweist. Wenn Sie einen Wert äußerst nahe bei 1 verwenden, sollten Sie genügend Stellen der Exzentrizität beibehalten, da schon kleine Rundungsänderungen das Verhältnis deutlich beeinflussen können. Die Formel setzt außerdem eine ideale Keplerellipse im Zweikörpermodell voraus. Störungen, Luftwiderstand, Schub, nichtsphärische Gravitation und relativistische Effekte können reale Geschwindigkeiten verändern; für belastbare Missionsprognosen ist daher ein geeigneter Bahnpropagator erforderlich.