Authalische Breite für flächentreue Projektionen berechnen

Geben Sie eine Breite und bei Bedarf die inverse Abplattung Ihres Referenzellipsoids ein. Das Ergebnis enthält den authalischen Winkel in Grad und Radiant, die normierte authalische Funktion und das verwendete Quadrat der ersten Exzentrizität. WGS 84 ist voreingestellt, sodass sich das Werkzeug unmittelbar für weltweite Geodaten und flächentreue Projektionen eignet.

Warum die authalische Breite verwendet wird

Eine auf einem Ellipsoid gemessene geografische Breite lässt sich nicht einfach auf eine Kugel übertragen, wenn die Fläche korrekt bleiben soll. Ellipsoidische Meridiane und Breitenkreise verteilen die Oberfläche anders als ihre kugelförmigen Gegenstücke, besonders bei zunehmender Breite. Die authalische Breite liefert die erforderliche Umrechnung: Eine Zone vom Äquator bis zu einer geodätischen Breite auf dem Ellipsoid hat denselben Flächeninhalt wie die entsprechende Zone bis zur authalischen Breite auf einer flächengleichen Kugel. Diese Eigenschaft macht den Winkel für die Herleitung und Umsetzung flächentreuer Kartenprojektionen wichtig. Die Umrechnung ändert die Breite, beschreibt aber weder eine neue physische Position noch eine Entfernung oder Richtung. Sie ist eine Hilfskoordinate der Projektionsmathematik. Am Äquator und an den Polen stimmen authalische und geodätische Breite überein. Dazwischen ist der Betrag der authalischen Breite auf einem abgeplatteten Erdellipsoid etwas kleiner. Der Unterschied wirkt in Grad gering, kann aber systematische Flächenfehler erzeugen, wenn eine Kugelformel auf ellipsoidische Daten angewandt wird.

So wird die Umrechnung berechnet

Der Rechner leitet zunächst aus der angegebenen inversen Abplattung die Abplattung und anschließend das Quadrat der ersten Exzentrizität des Ellipsoids ab. Er wertet die authalische Standardfunktion q an der gewünschten geodätischen Breite aus und teilt diesen Wert durch q am Pol. Die authalische Breite ist der Arkussinus dieses normierten Verhältnisses. Die Normierung bildet den gesamten Bereich vom Südpol bis zum Nordpol auf minus eins bis plus eins ab, bevor der Arkussinus berechnet wird. Die Implementierung verwendet natürliche Logarithmen und doppelte Genauigkeit, begrenzt lediglich das Endverhältnis gegen winzige Gleitkommaabweichungen und rundet die ausgegebenen Felder auf die gewünschte Stellenzahl. Das ausgegebene q_ratio ist zugleich der Sinus der authalischen Breite und eignet sich zur Prüfung anderer Implementierungen. Eine große Halbachse ist nicht erforderlich, da sich der Maßstab bei der Division von q durch den Polwert herauskürzt. Nur die durch die inverse Abplattung beschriebene Form beeinflusst die Winkelumrechnung.

Eingaben wählen und Ergebnisse deuten

Geben Sie lat_deg als vorzeichenbehafteten Dezimalwinkel zwischen minus 90 und 90 ein. Positive Werte liegen nördlich, negative südlich des Äquators. Ohne f_inv verwendet der Rechner die inverse WGS-84-Abplattung 298.257223563, die für GPS-Koordinaten und die meisten weltweiten Datensätze geeignet ist. Geben Sie einen anderen Wert an, wenn Ihre Ausgangskoordinaten ausdrücklich an ein anderes Referenzellipsoid gebunden sind; die Mischung einer Breite aus einem Datum mit dem Formparameter eines anderen Ellipsoids ist inkonsistent. decimals steuert nur die Darstellung, während intern stets die volle numerische JavaScript-Genauigkeit verwendet wird. Nutzen Sie Grad für Berichte und entsprechend formulierte Projektionsabläufe oder Radiant für trigonometrischen Code. Die Umrechnung ist antisymmetrisch: Wird nur das Vorzeichen der Eingabe geändert, wechseln nur die Vorzeichen der breitenabhängigen Ausgaben. Die authalische Breite allein ergibt noch keine vollständige flächentreue Projektion. Zusätzlich können authalischer Kugelradius, Mittelmeridian, Standardparallelen, falsche Ursprünge oder weitere Parameter nötig sein.