Doppelwinkelformeln berechnen: sin(2x), cos(2x), tan(2x) online und per API

Sie senden den Winkel, wählen die gewünschte Identität und erhalten den exakt berechneten Wert zusammen mit der Formel, die ihn erzeugt hat. Die verwendeten Identitäten sind sin(2x) = 2 sin(x) cos(x), cos(2x) = cos²(x) − sin²(x) und tan(2x) = 2 tan(x) / (1 − tan²(x)). Die Berechnung ist vollständig deterministisch: keine Näherungstabellen, kein externer Dienst, nur die geschlossene Formel in doppelter Genauigkeit. Sie beantwortet mit einem Aufruf, wofür Sie sonst Taschenrechner, CAS oder Tabellenkalkulation bemühen müssten, und läuft kostenlos in Ihrem Browser auf dieser Seite, bevor Sie jemals $0.002 pro API-Anfrage bezahlen.

Was die Doppelwinkelformeln tatsächlich aussagen

Die Doppelwinkelformeln drücken die trigonometrischen Funktionen eines verdoppelten Winkels 2x ausschließlich durch Funktionen des ursprünglichen Winkels x aus. Für den Sinus lautet die Identität sin(2x) = 2 sin(x) cos(x), die direkt aus dem Additionstheorem für den Sinus mit zwei gleichen Summanden folgt. Für den Kosinus ist die Grundform cos(2x) = cos²(x) − sin²(x), die üblicherweise mithilfe des pythagoreischen Satzes in die beiden äquivalenten Varianten 1 − 2 sin²(x) und 2 cos²(x) − 1 umgeformt wird. Für den Tangens gilt tan(2x) = 2 tan(x) / (1 − tan²(x)), überall dort, wo der Nenner nicht null ist. Diese Fähigkeit nimmt einen Winkel — standardmäßig im Bogenmaß, auf Wunsch in Grad — und wertet genau eine dieser drei Identitäten aus; sie gibt den numerischen Wert samt verwendeter Formel zurück. Der Winkel muss eine endliche Zahl sein: NaN, Unendlichkeiten, Zeichenketten, die sich nicht als Zahl lesen lassen, und fehlende Werte werden mit einem klaren Fehler abgelehnt statt stillschweigend umgewandelt, denn eine stille Umwandlung ist genau die Art von Fehler, die eine nachgelagerte Berechnung verdirbt.

Wie die Auswertung funktioniert und wo die Grenzfälle liegen

Intern wird der angegebene Winkel zunächst ins Bogenmaß umgerechnet, da Math.sin, Math.cos und Math.tan in JavaScript alle mit Bogenmaß arbeiten; eine Eingabe in Grad wird einfach mit π/180 multipliziert. Anschließend werden Sinus und Kosinus des Winkels einmal berechnet und die gewünschte Identität daraus zusammengesetzt. Für sin(2x) und cos(2x) ist damit alles getan: Die Identitäten sind für jeden endlichen Winkel definiert, und das Ergebnis ist eine stabile Gleitkommazahl, leicht auf zehn Dezimalstellen gerundet, damit wiederholte Aufrufe auf verschiedenen Maschinen byteweise identische Ausgaben liefern. Beim Tangens ist es anders, denn er hat eine echte Definitionslücke: tan(x) ist dort undefiniert, wo cos(x) null ist, und tan(2x) ist überall dort undefiniert, wo 1 − tan²(x) null ergibt, also wenn 2x ein ungerades Vielfaches von π/2 ist. Statt eine riesige oder unendliche Zahl zurückzugeben, die wie ein Ergebnis aussieht, erkennt die Fähigkeit diese Fälle mit einer expliziten Prüfung und liefert einen aussagekräftigen Ungültige-Eingabe-Fehler, der erklärt, dass der Tangens für diesen Winkel undefiniert ist.

Wann eine programmatische Doppelwinkel-Auswertung nützlich ist

Die meisten begegnen den Doppelwinkelformeln im Analysis- oder Physikunterricht, doch die programmatische Variante beweist sich in der Automatisierung. Code zur Signalverarbeitung, der Wellenformen synthetisiert oder analysiert, benötigt häufig sin(2x) und cos(2x) bei der Arbeit mit Harmonischen; eine Robotik- oder Grafik-Pipeline braucht sie beim Zusammensetzen von Rotationen; und eine Lernplattform benötigt ein verlässliches, deterministisches Orakel, um Antworten von Studierenden dagegen zu bewerten. Da derselbe Code, der API-Aufrufe beantwortet, auch kostenlos im Browser-Widget auf dieser Seite läuft, können Sie einen erwarteten Wert interaktiv prüfen und dann dieselbe Berechnung ohne Abweichungsrisiko in ein Skript, einen CI-Check oder ein Hausaufgabensystem übernehmen. Die Preisgestaltung ist einfach: $0.002 pro Anfrage über die API, ohne Aufschlag pro Einheit, und die Browser-Version ist für die interaktive Nutzung kostenlos. Die Fähigkeit hält keinen Zustand zwischen Aufrufen, greift nicht aufs Netzwerk zu und speichert nichts — der Winkel geht hinein, der Wert der Identität kommt heraus, und das ist die gesamte Transaktion.