Dreiecksfläche aus Koordinaten

Geben Sie für jeden Punkt die x- und y-Koordinate ein. Der Rechner wertet die Determinante der Gaußschen Trapezformel aus, bildet ihren Absolutwert und teilt ihn durch zwei. Das Ergebnis wird in quadrierten Koordinateneinheiten angegeben. Bei Koordinaten in Metern erhalten Sie daher Quadratmeter; einheitenlose Koordinaten ergeben Flächeneinheiten. Die direkte Berechnung eignet sich für Geometrieaufgaben, Kartografie, Computergrafik, Vermessungsprüfungen und die automatisierte Datenvalidierung.

Geben Sie drei Eckpunkte im selben Koordinatensystem ein

Ein Dreieck wird durch drei Eckpunkte vollständig bestimmt, wobei jeder Punkt eine x- und eine y-Koordinate benötigt. Tragen Sie den ersten Punkt als x1 und y1, den zweiten als x2 und y2 sowie den dritten als x3 und y3 ein. Alle sechs Eingaben müssen endliche Zahlen sein. Negative Werte und Dezimalzahlen sind zulässig; die Punkte dürfen somit in jedem Quadranten liegen und müssen nicht auf Gitterkreuzungen fallen. Verwenden Sie für sämtliche Koordinaten dasselbe kartesische Bezugssystem und denselben Maßstab. Mischen Sie beispielsweise keinen in Metern gemessenen Punkt mit einem in Fuß angegebenen Punkt. Breiten- und Längengrade sollten Sie bei großen Gebieten ebenfalls nicht als ebene Entfernungen behandeln, wenn die Erdkrümmung ins Gewicht fällt. Die Reihenfolge der drei Eckpunkte darf im oder gegen den Uhrzeigersinn verlaufen, weil der Rechner den Absolutwert der Fläche ausgibt. Die Punkte müssen jedoch verschieden sein und dürfen nicht auf einer Geraden liegen. Drei kollineare Punkte schließen kein Dreieck ein; eine Determinante von null wird deshalb als ungültige Eingabe gemeldet.

So funktioniert die Determinante der Gaußschen Trapezformel

Die Gaußsche Trapezformel verwandelt die sechs Koordinaten in die doppelte orientierte Dreiecksfläche. Ausgeschrieben besteht die Determinante aus x1 mal der Differenz von y2 und y3, plus x2 mal der Differenz von y3 und y1, plus x3 mal der Differenz von y1 und y2. Der Rechner bildet den Absolutwert dieser Determinante und teilt ihn durch zwei. Das Vorzeichen vor der Betragsbildung beschreibt nur die Orientierung: Ein Vorzeichen steht für die Reihenfolge im Uhrzeigersinn, das andere für die umgekehrte Richtung. Die tatsächliche Größe des Dreiecks ändert sich dadurch nicht. Algebraisch entspricht das Verfahren der Hälfte des Betrags des zweidimensionalen Kreuzprodukts zweier Seiten. Es funktioniert für spitzwinklige, rechtwinklige und stumpfwinklige Dreiecke, auch wenn sie gedreht sind und keine Seite waagerecht verläuft. Weder Seitenlängen noch Winkel, Höhe oder eine ausgewählte Grundseite werden benötigt. Da der Algorithmus stets eine feste Anzahl arithmetischer Operationen ausführt, arbeitet er für jede gültige Anfrage deterministisch und in konstanter Zeit.

Deuten und prüfen Sie die berechnete Fläche

Die Antwort enthält die absolute Fläche, nennt die verwendete Gaußsche Trapezformel und bezeichnet die Dimension als quadrierte Koordinateneinheit. Leiten Sie die konkrete Einheit aus Ihren Eingaben ab. Sind x und y in Zentimetern angegeben, erhalten Sie Quadratzentimeter; bei Kilometern lautet das Ergebnis Quadratkilometer. Für eine einfache Handprobe eignet sich ein an den Achsen ausgerichtetes rechtwinkliges Dreieck. Die Punkte (0, 0), (4, 0) und (0, 3) müssen 6 ergeben, denn die Hälfte aus Grundseite 4 mal Höhe 3 beträgt 6. Bei weniger übersichtlichen Dreiecken können Sie die Reihenfolge des zweiten und dritten Eckpunkts vertauschen: Die orientierte Determinante wechselt ihr Vorzeichen, die absolute Fläche muss jedoch gleich bleiben. Extrem große Koordinaten können den endlichen Zahlenbereich von JavaScript überschreiten. Der Rechner weist einen solchen Überlauf zurück, anstatt eine unbrauchbare Unendlichkeit auszugeben. Die API kostet $0.002 je Anfrage; im Browser kann dieselbe reine Berechnung für schnelle interaktive Kontrollen lokal ausgeführt werden.