Logarithmus entwickeln – Produkt-, Quotienten- & Potenzregel

Diese API übernimmt diese Umformung für Sie. Sie senden die Basis und die Liste der Faktoren mit ihren Operationen und erhalten den entwickelten Ausdruck zurück, ein Term pro Faktor, mit den korrekten Vorzeichen und Koeffizienten. Numerische Argumente werden validiert: Ein Logarithmus ist nur für positive Argumente definiert, daher wird jeder Faktor, der null oder negativ ist, mit einer klaren Fehlermeldung abgelehnt, statt einen sinnlosen Ausdruck zu erzeugen.

Was das Entwickeln eines Logarithmus bedeutet

Die drei Logarithmengesetze verwandeln Struktur im Inneren des Arguments in Struktur außerhalb. Die Produktregel besagt, dass log_b(x·y) gleich log_b(x) plus log_b(y) ist: Aus einer Multiplikation im Inneren wird eine Addition außen. Die Quotientenregel besagt, dass log_b(x/y) gleich log_b(x) minus log_b(y) ist: Aus einer Division im Inneren wird eine Subtraktion außen. Die Potenzregel besagt, dass log_b(x^n) gleich n mal log_b(x) ist: Ein Exponent im Inneren wandert als Koeffizient nach vorn. Einen Logarithmus zu entwickeln heißt, diese Gesetze von links nach rechts anzuwenden, bis nichts im Inneren eines Logarithmus weiter zerlegt werden kann. Lernende begegnen dem beim Vereinfachen von Ausdrücken vor dem Ableiten, beim Lösen von Exponentialgleichungen und beim Linearisieren von Daten für ein doppeltlogarithmisches Diagramm. Die Operation ist rein mechanisch, sobald man jeden Faktor und seine Rolle im Argument erkannt hat — und genau deshalb eignet sie sich für eine API: Sie beschreiben den Ausdruck als Basis plus eine Liste von Operationen und Faktoren, und die Entwicklung kommt als fertig verwendbarer String zurück, mit jedem einzelnen Term, seinem Vorzeichen, seinem Koeffizienten und seinem Argument.

So beschreiben Sie Ihren Ausdruck für die API

Die Eingabe besteht aus zwei Teilen. Die Basis ist die Basis des Logarithmus: eine beliebige positive Zahl ungleich 1, also funktionieren 2, 10 und e, während 1, 0 und negative Zahlen abgelehnt werden, weil kein reeller Logarithmus eine solche Basis hat. Das Terms-Array listet die Faktoren des Arguments in der Reihenfolge auf. Jeder Term benennt eine Operation — multiply, divide oder power — und ein Argument. Ein multiply-Term trägt seinen Logarithmus mit Pluszeichen bei, ein divide-Term mit Minuszeichen, und ein power-Term mit seinem Exponenten als Koeffizienten davor. Der Logarithmus von x·y/z³ zur Basis 2 besteht also aus drei Termen: multiply x, multiply y und power z mit Exponent 3, was zu log₂(x) + log₂(y) − 3·log₂(z) entwickelt wird. Argumente können symbolisch sein, etwa x oder price, wenn Sie die algebraische Form möchten, oder numerisch, etwa 8, wenn Sie eine konkrete Kontrolle wünschen. Numerische Argumente müssen positiv sein; symbolische werden wörtlich übernommen, weil ihr Vorzeichen von den Werten abhängt, die Sie später einsetzen. Ein negativer Exponent bei einem power-Term kehrt lediglich das Vorzeichen des Terms um, denn x hoch minus n ist dasselbe wie eine Division durch x hoch n.

Warum die Validierung des Definitionsbereichs wichtig ist

Ein reeller Logarithmus ist nur für strikt positive Argumente definiert. Der Logarithmus von null strebt gegen minus unendlich, und der Logarithmus einer negativen Zahl ist überhaupt keine reelle Zahl — eine Entwicklung auf Grundlage eines nicht positiven Faktors wäre also symbolisches Rauschen, das still versagt, sobald es jemand auswertet. Dieser Endpunkt weigert sich, solches Rauschen zu erzeugen: Ist ein numerisches Argument null oder negativ, schlägt der Aufruf mit einem invalid-input-Fehler fehl, der den betreffenden Term nennt, und der Aufruf wird Ihnen nicht berechnet. Dieselbe Strenge gilt für die Basis, die positiv und ungleich 1 sein muss, und für Exponenten, die endliche Zahlen sein müssen — ein Exponent von null wird abgelehnt, weil der Term den Logarithmus von 1 beitragen würde, was null ergibt und fast immer ein Eingabefehler ist. Das Ergebnis ist deterministisch: Dieselbe Anfrage liefert immer denselben String, Byte für Byte, wodurch sich der Endpunkt sicher in generierten Arbeitsblättern, automatischen Bewertungssystemen und CI-Prüfungen einsetzen lässt, die Ausgaben wörtlich vergleichen. Er läuft auf unserer Edge-Plattform, ohne dass etwas gespeichert wird, und derselbe Algorithmus läuft kostenlos im Browser auf dieser Seite — Sie zahlen $0.002 pro Aufruf also nur, wenn Sie ihn automatisieren.