توسيع اللوغاريتمات عبر الإنترنت

هذه الواجهة البرمجية تقوم بإعادة الكتابة هذه نيابة عنك. ترسل الأساس وقائمة العوامل مع عملياتها، فتستعيد التعبير الموسَّع، حدًّا لكل عامل، بالإشارات والمعاملات الصحيحة. أما الوسائط العددية فتخضع للتحقق: اللوغاريتم لا يُعرَّف إلا لوسائط موجبة، ولذلك يُرفض أي عامل يساوي صفرًا أو قيمة سالبة برسالة خطأ واضحة بدلًا من إنتاج تعبير بلا معنى.

ماذا يعني توسيع لوغاريتم

قوانين اللوغاريتمات الثلاثة تحوِّل البنية داخل الوسيط إلى بنية خارجه. فقاعدة الجداء تنص على أن log_b(x·y) يساوي log_b(x) زائد log_b(y): الضرب في الداخل يصبح جمعًا في الخارج. وقاعدة الخارج تنص على أن log_b(x/y) يساوي log_b(x) ناقص log_b(y): القسمة في الداخل تصبح طرحًا في الخارج. وقاعدة القوة تنص على أن log_b(x^n) يساوي n مضروبًا في log_b(x): الأس في الداخل ينزلق إلى المقدمة فيصير معاملًا. توسيع اللوغاريتم هو تطبيق هذه القوانين من اليسار إلى اليمين حتى لا يبقى داخل أي لوغاريتم ما يمكن تفكيكه أكثر. يصادف الطلاب هذا الأسلوب عند تبسيط التعابير قبل اشتقاقها، وعند حل المعادلات الأسية، وعند تحويل البيانات إلى صيغة خطية لرسم بياني لوغاريتمي مزدوج. العملية ميكانيكية تمامًا ما إن تحدد كل عامل وكيفية دخوله في الوسيط، وهذا بالضبط ما يجعلها ملائمة لواجهة برمجية: تصف التعبير بأنه أساس زائد قائمة من العمليات والعوامل، فيعود إليك التوسيع نصًّا جاهزًا للاستخدام، كل حد فيه مفصَّل بإشارته ومعامله ووسيطه.

كيف تصف تعبيرك للواجهة البرمجية

يتألف المُدخل من جزأين. الأساس هو أساس اللوغاريتم: أي عدد موجب غير الواحد، فالأعداد 2 و10 وe كلها مقبولة، بينما يُرفض 1 و0 والقيم السالبة لأنه لا يوجد لوغاريتم حقيقي بمثل هذه الأسس. ومصفوفة الحدود تسرد عوامل الوسيط بالترتيب. كل حد يسمّي عملية — ضرب أو قسمة أو قوة — ووسيطًا. حد الضرب يسهم بلوغاريتمه بإشارة زائد، وحد القسمة بإشارة ناقص، وحد القوة بسحب أسه إلى المقدمة معاملًا. فاللوغاريتم بأساس 2 للتعبير x·y/z³ يتألف من ثلاثة حدود: ضرب x، وضرب y، وقوة z بأس 3، ويتوسع إلى log₂(x) + log₂(y) − 3·log₂(z). يمكن أن تكون الوسائط رمزية، مثل x أو price، حين تريد الصيغة الجبرية، أو عددية، مثل 8، حين تريد تحققًا محسوسًا. الوسائط العددية يجب أن تكون موجبة؛ أما الرمزية فتُحفظ كما كُتبت لأن إشارتها تتوقف على القيم التي ستسندها لاحقًا. والأس السالب في حد القوة يقلب إشارة الحد ببساطة، إذ إن x مرفوعًا إلى ناقص n يساوي القسمة على x مرفوعًا إلى n.

لماذا يهم التحقق من مجال التعريف

اللوغاريتم الحقيقي لا يُعرَّف إلا لوسائط موجبة قطعًا. لوغاريتم الصفر يتباعد نحو ناقص ما لا نهاية، ولوغاريتم عدد سالب ليس عددًا حقيقيًا أصلًا، ومن ثم فإن أي توسيع مبني على عامل غير موجب سيكون ضجيجًا رمزيًا ينهار بصمت لحظة أن يقيِّمه أحد. هذه النقطة الطرفية ترفض إنتاج ذلك الضجيج: عندما يكون وسيط عددي صفرًا أو سالبًا، يفشل الاستدعاء بخطأ مُدخل غير صالح يسمّي الحد المخالف، ولا تُحاسَب على الاستدعاء. والصرامة نفسها تسري على الأساس الذي يجب أن يكون موجبًا ومختلفًا عن 1، وعلى الأسس التي يجب أن تكون أعدادًا منتهية — فالأس الصفري يُرفض لأن الحد عندئذ سيضيف لوغاريتم 1 الذي يساوي صفرًا، وهو خطأ في المُدخل في أغلب الأحوال. النتيجة حتمية: الطلب نفسه يعيد النص نفسه دائمًا، بايتًا ببايت، ما يجعل النقطة الطرفية آمنة للاستخدام داخل أوراق العمل المولَّدة وأنظمة التصحيح الآلي وفحوص التكامل المستمر التي تقارن المخرجات حرفيًا. تعمل على شبكتنا الطرفية دون تخزين أي شيء، والخوارزمية ذاتها تعمل مجانًا في المتصفح على هذه الصفحة، فلا تدفع $0.002 عن كل استدعاء إلا عندما تؤتمتها.