Komplexe Zahl in trigonometrische Form

Sie erhalten das Argument in Radiant und in Grad sowie einen fertig kopierbaren trigonometrischen Ausdruck r(cos(θ) + i sin(θ)). Es ist exakt dieselbe Rechnung, die man im Mathematikunterricht von Hand ausführt, deterministisch in einem einzigen Aufruf erledigt, ohne Rundungsdrift zwischen Maschinen und ohne Näherungstricks — nur die Hypotenuse für den Betrag und der Arkustangens mit zwei Argumenten für den Winkel.

Von der kartesischen zur trigonometrischen Form

Eine komplexe Zahl in der Schreibweise a + bi liegt in kartesischer Form vor: Sie benennt einen Punkt in der Ebene, indem sie a Einheiten entlang der reellen Achse und b Einheiten entlang der imaginären Achse geht. Die trigonometrische Form beschreibt denselben Punkt so, wie es ein Navigator tun würde — über Strecke und Richtung. Die Strecke ist der Betrag, berechnet als Quadratwurzel aus a zum Quadrat plus b zum Quadrat, und die Richtung ist das Argument, der Winkel, gemessen gegen den Uhrzeigersinn ab der positiven reellen Achse. Ausgeschrieben wird die Zahl zu r mal dem Kosinus des Winkels plus i mal dem Sinus des Winkels. An der Zahl ändert sich nichts; nur ihre Beschreibung ändert sich. Und genau dieser Wechsel der Beschreibung macht Multiplikation, Division, Potenzen und Wurzeln komplexer Zahlen einfach, denn in polarer Sprache werden diese Operationen zu Beträge multiplizieren und Winkel addieren. Dieser Endpunkt führt die Umrechnung in einem einzigen deterministischen Schritt aus und liefert jeden Teil des Ergebnisses, damit Sie denjenigen verwenden können, den Ihre nächste Rechnung braucht.

Wie Betrag und Argument berechnet werden

Der Betrag wird mit dem Hypotenusen-Algorithmus berechnet statt mit der naiven Quadratwurzel der Quadratsumme, was bei sehr großen oder sehr kleinen Komponenten zählt: Die naive Formel kann gegen unendlich überlaufen oder zu null unterlaufen, obwohl die wahre Antwort eine völlig gewöhnliche Zahl ist. Das Argument wird mit dem Arkustangens mit zwei Argumenten berechnet, nicht mit einem schlichten Arkustangens von b durch a. Dieser Unterschied bringt den Winkel in den richtigen Quadranten: eins plus i und minus eins minus i haben denselben Quotienten b durch a, zeigen aber in entgegengesetzte Richtungen, und nur die Version mit zwei Argumenten kann sie unterscheiden. Das Ergebnis ist der Hauptwert des Arguments, im halboffenen Intervall von minus pi bis pi gelegen, in Radiant zurückgegeben und in Grad umgerechnet. Beide Eingaben müssen endliche Zahlen sein; eine nicht interpretierbare Zeichenkette, ein Unendlich oder ein NaN werden als ungültige Eingabe abgelehnt, statt stillschweigend umgewandelt zu werden.

Wo sich die Umrechnung bezahlt macht

Die trigonometrische Form ist die Arbeitsdarstellung überall dort, wo komplexe Zahlen wiederholt multipliziert werden. Elektroingenieure nutzen sie, um Impedanzen und Phasenverschiebungen in der Wechselstromanalyse zu kombinieren, wo der Betrag eine Größe und das Argument ein Phasenwinkel ist. Signalverarbeitungscode nutzt sie, um Amplitude und Phase eines Frequenzbins aus einer Fourier-Transformation abzulesen. Studierende nutzen sie für den Satz von De Moivre, der eine komplexe Zahl potenziert, indem er den Betrag potenziert und den Winkel multipliziert — in kartesischer Form kaum machbar, in Polarform fast trivial. Diese Fähigkeit läuft auf unserem globalen Edge, ohne dass nach dem Aufruf etwas gespeichert bleibt, und derselbe Code, der hier läuft, läuft kostenlos in Ihrem Browser auf dieser Seite: Sie können eine Zahl von Hand prüfen und zahlen erst $0.002 pro Anfrage, wenn Sie die Umrechnung in einer Pipeline automatisieren.