Implizite Ableitung einer Ellipse berechnen

Geben Sie die beiden positiven Halbachsen, die Punktkoordinaten und optional den Mittelpunkt ein. Ausgegeben werden Ellipsengleichung, Formel für dy/dx, Tangentenart sowie entweder eine numerische Steigung mit Punkt-Steigungs-Gleichung oder eine vertikale Gerade. Vor der Berechnung wird geprüft, ob der Punkt wirklich auf der Ellipse liegt.

Beschreiben Sie Ellipse und Punkt

Verwenden Sie semi_axis_x für die horizontale Halbachse a und semi_axis_y für die vertikale Halbachse b. Beide Längen müssen positive endliche Zahlen sein. center_x und center_y stehen optional für h und k; ohne Angabe gilt jeweils null. Geben Sie danach x und y des gewünschten Punktes an. Unterstützt wird (x − h)²/a² + (y − k)²/b² = 1 mit parallelen Koordinatenachsen. Tragen Sie Halbachsen statt Gesamtbreite und -höhe ein: Bei zehn Einheiten Breite und sechs Einheiten Höhe gilt a = 5 und b = 3. Der Rechner setzt den Punkt ein und verlangt innerhalb einer kleinen numerischen Toleranz den Wert eins. Nur ein Kurvenpunkt kann eine Tangente festlegen. Gedrehte Ellipsen und Gleichungen mit xy-Term werden nicht unterstützt.

Verfolgen Sie die implizite Ableitung

Leiten Sie (x − h)²/a² + (y − k)²/b² = 1 nach x ab. Der erste Term wird zu 2(x − h)/a². Weil y von x abhängt, liefert die Kettenregel beim zweiten Term 2(y − k)(dy/dx)/b²; die Konstante ergibt null. Kürzen Sie zwei, verschieben Sie den x-Term und lösen Sie nach dy/dx auf. Es folgt dy/dx = −b²(x − h) geteilt durch a²(y − k). Die Ausgabe zeigt diese Form in derivative_formula und berechnet durch Einsetzen slope. Für a = 5, b = 3, Mittelpunkt (0, 0) und Punkt (4, 1.8) ist die Steigung −0.8. Die Tangente erscheint in Punkt-Steigungs-Form und lässt sich bei Bedarf umformen. Formel und Zahlenwert nebeneinander erleichtern die Kontrolle von Vorzeichen, Quadraten, Mittelpunktverschiebung und Kettenregel.

Deuten Sie endliche, waagerechte und senkrechte Tangenten

Meist entstehen eine endliche Steigung und eine Punkt-Steigungs-Gerade. Für x = h ist der Zähler null; sofern y nicht k entspricht, ist die Tangente waagerecht und tangent_type kennzeichnet sie. Am linken oder rechten Rand gilt y = k, der Nenner ist null und die Tangente ist senkrecht. Ein gewöhnlicher Zahlenwert für dy/dx existiert dort nicht. Deshalb fehlt slope, und es wird etwa x = 5 ausgegeben. Das ist sicherer als null, Unendlich oder eine irreführend große Näherung. Die Punktprüfung nutzt die dimensionslose Toleranz 1e-9, projiziert aber keine Näherungspunkte und korrigiert keine Messungen. Überläufe endlicher Arithmetik werden abgewiesen. Ohne Netzwerk, Zufall, gespeicherten Zustand oder Uhr liefert dieselbe Eingabe stets dasselbe strukturierte Ergebnis.