Theil-Index-Rechner

Geben Sie für jede gleich gewichtete Person, jeden Haushalt, jede Region oder eine andere Einheit ein positives Einkommen ein. Ausgegeben werden der Theil-T-Index sowie Anzahl, Gesamteinkommen und Mittelwert der Berechnung. Null steht für vollkommene Gleichverteilung; höhere Werte zeigen stärkere Konzentration an. Die deterministische Berechnung eignet sich für Analysen, reproduzierbare Berichte, Datenpipelines und automatisierte Vergleiche.

Welche Aussage der Theil-Index liefert

Der Theil-Index fasst die Einkommensverteilung in einem nicht negativen Ungleichheitsmaß zusammen. Haben alle Beobachtungen genau dasselbe Einkommen, beträgt jedes Verhältnis zum Mittelwert eins, sämtliche logarithmischen Beiträge sind null und der endgültige Index ist ebenfalls null. Konzentriert sich Einkommen auf weniger Beobachtungen, steigt der Index. Anders als eine Geldsumme oder ein Durchschnitt besitzt das Ergebnis keine Einheit. Daher lassen sich Verteilungen in unterschiedlichen Währungen oder Größenordnungen vergleichen, sofern die Populationen einheitlich definiert sind. Das Maß reagiert auf Veränderungen in der gesamten Verteilung, einschließlich ihres oberen Randes. Es zeigt jedoch nicht, welche Haushalte arm oder reich sind; zudem können zwei sichtbar verschiedene Verteilungen denselben Index ergeben. Interpretieren Sie ihn deshalb zusammen mit Anzahlen, Mittelwerten, Quantilen und fachlichem Kontext. Dieser Rechner gibt Theil T aus, gelegentlich als mit relativem Einkommen gewichtete mittlere logarithmische Abweichung bezeichnet, nicht aber das separate Maß Theil L. Bei Veröffentlichungen und Vergleichen sollte diese Konvention ausdrücklich genannt werden.

So funktioniert die Berechnung

Bei n Einkommen ermittelt der Rechner zunächst das arithmetische Mittel. Danach teilt er jedes Einkommen durch diesen Mittelwert, bildet den natürlichen Logarithmus des Verhältnisses, multipliziert Verhältnis und Logarithmus, summiert alle Beiträge und teilt die Summe durch n. Theil T ist somit der Durchschnitt aus relativem Einkommen mal dessen natürlichem Logarithmus. Natürliche Logarithmen sind zwingend erforderlich; Logarithmen zur Basis zehn oder zwei verändern die numerische Skala. Jede Eingabe muss eine endliche Zahl sein, die strikt größer als null ist. Diese Vorgabe verhindert undefinierte Logarithmen und setzt den Vertrag eindeutig um: Nullwerte, negative, fehlende, unendliche oder nicht numerische Werte führen zu einem Eingabefehler und werden nicht stillschweigend verworfen. Jedes Array-Element erhält dasselbe Bevölkerungsgewicht. Repräsentiert ein Datensatz mehrere Personen, müssen Sie ihn in einzelne Beobachtungen aufteilen oder die Daten vorher mit geeigneten Häufigkeitsgewichten umformen. Gesamtsumme und Mittelwert helfen Ihnen zu prüfen, ob die Population richtig interpretiert wurde.

Gruppen vergleichen und Ergebnisse einordnen

Verwenden Sie bei allen Vergleichen dieselbe Definition der Population, denselben Abrechnungszeitraum, denselben Einkommensbegriff und dieselbe Behandlung von Steuern oder Transfers. Werden monatliche Haushaltseinkommen mit jährlichen persönlichen Einkommen vermischt, entsteht zwar eine Zahl, aber kein sinnvoller Vergleich. Die Theil-Familie ist besonders nützlich, weil sich die Gesamtungleichheit in Komponenten innerhalb und zwischen Gruppen zerlegen lässt. Diese Zerlegung benötigt jedoch Gruppengrößen und Gruppensummen und wird von diesem Rechner für ein einzelnes Array nicht durchgeführt. Sie können dennoch für jede konsistent definierte Gruppe einen separaten Index berechnen, sollten diese unabhängigen Ergebnisse aber nicht mit einer additiven Zerlegung verwechseln. Es gibt keinen universellen Grenzwert für einen guten oder schlechten Theil-Wert; seine Bedeutung hängt von Gesellschaft, Markt, Stichprobendesign und Fragestellung ab. Prüfen Sie außerdem den Einfluss weniger Extremwerte, einheitliche Inflationsbereinigungen und die Repräsentativität der Stichprobe. Bewahren Sie bei automatisierten Abläufen das genaue Eingabearray mit der Ausgabe auf.