Rechner für die x-Koordinate eines Flächenschwerpunkts

Geben Sie das Polynom als Koeffizienten in absteigender Potenzfolge sowie die untere und obere Grenze ein. Der Rechner wertet das Flächenintegral aus, berechnet das erste Moment bezüglich der y-Achse und teilt dieses Moment durch die Fläche. Er gibt alle drei Werte zurück, damit Sie den Rechenweg prüfen, Zwischenergebnisse weiterverwenden und den Schwerpunkt bestätigen können, statt eine unerklärte Koordinate zu übernehmen.

Stellen Sie Kurve und Intervall korrekt dar

Drücken Sie zunächst die obere Begrenzung als Polynom f(x) aus. Geben Sie seine Koeffizienten von der höchsten Potenz bis zum konstanten Glied an und setzen Sie für jede fehlende Potenz eine Null ein. Beispielsweise wird x zum Quadrat plus 3 als [1, 0, 3] eingegeben, weil der Koeffizient von x null ist. Legen Sie anschließend eine untere und eine obere Grenze fest, wobei der obere Wert strikt größer sein muss. Die vorgesehene geometrische Fläche liegt in diesem Intervall zwischen der Kurve und der x-Achse; die Kurve sollte deshalb oberhalb der Achse bleiben. Dieser Rechner interpretiert keine Formeln und ermittelt Schnittpunkte nicht automatisch. Explizite Koeffizienten und Grenzen machen die Eingabe deterministisch und vermeiden mehrdeutige Deutungen der Schreibweise. Skizzieren Sie vor der Berechnung die Kurve oder prüfen Sie wichtige Werte, um sicherzustellen, dass das gewählte Intervall eine einzige zusammenhängende Fläche oberhalb der Achse beschreibt. Schneidet die Kurve die Achse, teilen Sie die Aufgabe an ihren Nullstellen und entscheiden Sie, welche begrenzte Fläche Sie tatsächlich messen möchten, statt vorzeichenbehaftete Auslöschung als gewöhnlichen geometrischen Flächeninhalt zu behandeln.

Verstehen Sie die Flächen- und Momentberechnung

Die horizontale Schwerpunktkoordinate wird durch x-bar = M_y / A definiert. Dabei ist A das Flächenintegral von f(x) zwischen der unteren und oberen Grenze. M_y ist das erste Moment bezüglich der y-Achse und entsteht durch die Integration von x mal f(x) über dieselben Grenzen. Die Multiplikation mit x verleiht Material, das weiter von der y-Achse entfernt liegt, größeren Einfluss; genau das muss eine Gleichgewichtskoordinate abbilden. Der Rechner integriert jeden Polynomterm analytisch: Für die Fläche wird ein Term c mal x hoch n zu c geteilt durch n plus 1 mal x hoch n plus 1. Bei der Momentberechnung wird zuerst die Potenz des Terms um eins erhöht. Beide Stammfunktionen werden an den Grenzen ausgewertet, anschließend wird der untere Wert vom oberen abgezogen. Zum Schluss wird das aufsummierte Moment durch die aufsummierte Fläche geteilt. Da A und M_y zusammen mit x-bar ausgegeben werden, können Sie das Ergebnis leicht mit einer Rechnung von Hand vergleichen und einen falschen Koeffizienten oder eine falsche Grenze erkennen.

Deuten und überprüfen Sie die ausgegebene Koordinate

Bei einer gültigen Fläche mit nicht negativer Höhe sollte die ausgegebene x-Koordinate zwischen den Intervallgrenzen liegen. Ihre Position zeigt, wie der Flächeninhalt horizontal verteilt ist; sie bezeichnet weder das Maximum der Kurve noch den Mittelwert der beiden Grenzen. Bei einer symmetrischen Fläche ergibt sich der Mittelpunkt, während zusätzliche Fläche auf einer Seite den Schwerpunkt in diese Richtung verschiebt. Nutzen Sie die ausgegebene Fläche und das erste Moment zur Kontrolle: first_moment_y_axis geteilt durch area muss x_coordinate ergeben. Auch die Einheiten ermöglichen eine hilfreiche Prüfung. Werden x und f(x) in Metern gemessen, hat die Fläche die Einheit Quadratmeter, das erste Moment Kubikmeter und ihr Quotient Meter. Die Fähigkeit weist vertauschte oder gleiche Grenzen, nicht endliche Eingaben, numerischen Überlauf und einen nicht positiven vorzeichenbehafteten Flächeninhalt zurück. Ein positives Ergebnis allein beweist jedoch nicht, dass die Kurve die Achse nie geschnitten hat. Wenn geometrische Gültigkeit wichtig ist, bestätigen Sie vor der Deutung des Quotienten als Schwerpunkt einer Fläche unter der Kurve, dass f(x) im gesamten gewählten Intervall größer oder gleich null bleibt.