حاسبة أصغر مجموع لعددين بحاصل ضرب ثابت

وهي تعرض كلا العددين المثاليين وأصغر مجموع بالاعتماد على شرط المساواة في متباينة الوسطين الحسابي والهندسي. النتيجة فورية وحتمية، ولذلك تفيد في تمارين التحسين بالتفاضل، والتحقق من مسائل الجبر، والتصميم الهندسي، وإنشاء الإجابات آليًا من دون بحث عددي أو قيمة ابتدائية اعتباطية.

صياغة مسألة التحسين مع حاصل ضرب ثابت

افترض أن العددين الموجبين هما x وy، وأن حاصل ضربهما الثابت هو P. يكون القيد xy = P، بينما تكون الكمية المطلوب تصغيرها هي المجموع S = x + y. أدخل P في حقل product؛ ويجب أن يكون عددًا منتهيًا أكبر من الصفر حصرًا، لأن المسألة تتناول عددين حقيقيين موجبين. يتيح القيد استبدال y بالتعبير P/x، فيصبح المجموع دالة في متغير واحد هي S(x) = x + P/x عندما يكون x أكبر من الصفر. توضح هذه الصيغة الموازنة المطلوبة: إذا اخترت x صغيرًا جدًا وجب أن يصبح y كبيرًا جدًا، وإذا اخترت x كبيرًا جدًا هيمن x نفسه على المجموع. وبين هذين الطرفين توجد نقطة اتزان وحيدة. تعرض الحاسبة هذه النقطة في first_number وsecond_number، ثم تعرض minimum_sum. تفصل أسماء الحقول بين الكميات المطلوبة رغم تساوي القيمتين المثليين. لا تفرض الخدمة وحدات قياس؛ فإذا كان حاصل الضرب يمثل أمتارًا مربعة أو وحدة مركبة أخرى، فاحتفظ بالوحدة الأساسية المناسبة لكل عدد وللمجموع. ولا تعرض النتيجة سوى القيم الرياضية القياسية.

سبب تحقيق العددين المتساويين للأصغر المطلق

يمكن إثبات النتيجة بطريقتين معروفتين. باستخدام التفاضل، اشتق S(x) = x + P/x لتحصل على S'(x) = 1 - P/x squared. عندما تساوي المشتقة بالصفر تحصل على x squared = P، وبسبب شرط الإيجابية تختار x = square root of P. وعند التعويض في y = P/x تحصل على الجذر التربيعي الموجب نفسه لقيمة y. تكون المشتقة الثانية 2P/x cubed موجبة في المجال المسموح كله، ولذلك تكون النقطة الحرجة قيمة صغرى صارمة. كما يؤكد السلوك قرب الصفر وعند الاتجاه إلى اللانهاية أنها قيمة صغرى مطلقة لا محلية فقط. وتقدم متباينة الوسطين الحسابي والهندسي برهانًا أقصر: للعددين الموجبين x وy تكون (x + y)/2 أكبر من أو تساوي الجذر التربيعي لـxy. وبما أن xy = P، فإن كل مجموع مسموح لا يقل عن 2 square root of P، ولا تتحقق المساواة إلا عندما x = y. تستخدم الحاسبة شرط المساواة المغلق هذا مباشرة، ولا تختبر عينات ولا تنفذ تكرارات، لذلك لا تحتاج إلى مجال بحث أو هامش تقارب ولا يمكن أن تختار قيمة قصوى أو صغرى محلية خاطئة.

قراءة النتيجة وتطبيقها بطريقة صحيحة

إذا كان حاصل الضرب 36، تكون القيمتان المثليان 6 و6 ويكون أصغر مجموع 12. أما الزوج غير المتساوي 4 و9 فحاصل ضربه أيضًا 36، لكن مجموعه 13، وهذا يوضح أثر الابتعاد عن التساوي. تعمل الطريقة نفسها عندما لا يكون حاصل الضرب مربعًا كاملًا؛ وقد تكون القيم المثلى غير نسبية، وتمثلها الحاسبة بحساب الفاصلة العائمة القياسي في JavaScript. لا تقرب الخدمة القيم عمدًا، لأن واجهة تعليمية قد تحتاج إلى أربع منازل عشرية، بينما قد تتطلب عملية لاحقة كامل الدقة المتاحة. قرب القيمة عند العرض فقط، ولا تستخدم قيمة مقربة مجددًا في تحقق صارم من حاصل الضرب. تنطبق النتيجة على الأعداد الحقيقية الموجبة. إذا قصرت المسألة الاختيارات على الأعداد الصحيحة، أو فرضت حدودًا، أو سمحت بالسوالب، أو تناولت أكثر من عاملين، فإن المجموعة الممكنة تختلف ولا تكون هذه الحاسبة الأداة المناسبة. في الهندسة تظهر الصيغة عند تصغير محيط مستطيل ذي مساحة ثابتة، إذ تؤدي الأضلاع المتساوية إلى مربع. وفي تمارين التفاضل استخدم النتيجة للتحقق، لكن اعرض أيضًا القيد والتعويض والمشتقة أو المتباينة وشرط المساواة والمجال في الحل المكتوب.