Contador de somas de dois quadrados

A ordem e os sinais importam; portanto, (1, 2), (2, 1), (-1, 2) e as outras variações de sinal são representações diferentes. Informe um inteiro não negativo dentro do limite publicado para receber uma contagem determinística obtida da fatoração em primos, sem enumerar cada possível par de coordenadas. O resultado pode ser usado diretamente em cálculos e verificações automatizadas.

O significado da contagem de representações ordenadas

Esta calculadora responde a uma questão precisa da teoria dos números: quantos pares de inteiros (x, y) satisfazem x² + y² = n? A palavra ordenados é fundamental. Se x e y forem diferentes, trocá-los gera outra representação. Os sinais também contam separadamente sempre que uma coordenada não for zero. Assim, um ponto geométrico em um quadrante pode corresponder a vários pontos com sinais distintos ao redor de um círculo, e todos eles entram na contagem. Os pontos sobre os eixos também são incluídos; por isso, um quadrado perfeito tem representações como (a, 0), (-a, 0), (0, a) e (0, -a). O valor especial n = 0 tem exatamente uma representação, (0, 0). O campo r_two segue a notação tradicional r₂(n). Ele traz uma contagem, e não uma lista de pares, o que mantém o resultado prático mesmo quando n possui muitas representações. A entrada precisa ser um inteiro não negativo. Valores decimais, inteiros inseguros, números negativos e valores acima do limite declarado são rejeitados, sem arredondamento ou interpretação silenciosa.

Como r₂(n) é calculado

O algoritmo fatora n e aplica o teorema clássico de contagem das somas de dois quadrados. Para n positivo, r₂(n) equivale a quatro vezes a diferença entre a quantidade de divisores congruentes a 1 módulo 4 e a quantidade dos congruentes a 3 módulo 4. Uma forma equivalente baseada na fatoração permite calcular com mais eficiência: se algum primo congruente a 3 módulo 4 ocorrer com expoente ímpar, a contagem será zero. Caso contrário, multiplica-se um mais o expoente de cada fator primo congruente a 1 módulo 4 e, por fim, multiplica-se o produto por quatro. As potências de 2 não alteram esse produto. Considere n = 65 = 5 × 13. Os dois primos são 1 módulo 4 e têm expoente um; logo, r₂(65) = 4 × 2 × 2 = 16. A implementação faz divisões inteiras determinísticas e nunca percorre uma grade de coordenadas, consulta um serviço remoto ou usa testes probabilísticos de primalidade. O máximo declarado limita a fatoração por tentativa e preserva a exatidão dos inteiros aceitos.

Como usar o resultado corretamente

Use r_two quando você precisar da contagem completa, com sinais e ordem, adotada em fórmulas aritméticas, problemas de pontos em retículas e cálculos de coeficientes de séries teta. Não interprete o valor como a quantidade de decomposições essencialmente diferentes em dois quadrados não negativos. Se você quiser somente combinações com 0 ≤ x ≤ y, considere a simetria separadamente: um par com duas coordenadas diferentes e não nulas produz oito representações ordenadas com sinais; um par sobre um eixo produz quatro; e um par com coordenadas iguais e não nulas também produz quatro. Esses tamanhos de órbita explicam por que valores positivos de r₂(n) normalmente são múltiplos de quatro. O caso zero é a exceção, pois apenas a origem serve. A capacidade retorna zero normalmente quando não existe representação, e isso não é um erro de entrada. Para automatizar, envie o inteiro no campo n e leia r_two na resposta. Cada solicitação de API custa US$ 0,002; a versão no navegador utiliza o mesmo cálculo puro. Guarde n junto de r_two para facilitar futuras conferências reproduzíveis.