Somma di due quadrati

L’ordine e i segni contano: (1, 2), (2, 1), (-1, 2) e le altre varianti di segno sono quindi rappresentazioni distinte. Inserisca un intero non negativo entro il limite pubblicato per ottenere un conteggio deterministico ricavato dalla fattorizzazione in primi, senza enumerare ogni possibile coppia di coordinate. Il risultato è pronto per essere usato direttamente in calcoli e controlli automatizzati.

Cosa indica il conteggio delle rappresentazioni ordinate

Questo calcolatore risponde a una domanda precisa della teoria dei numeri: quante coppie di interi (x, y) soddisfano x² + y² = n? Il termine ordinate è fondamentale. Se x e y sono diversi, scambiarli produce un’altra rappresentazione. Anche i segni vengono contati separatamente quando una coordinata è diversa da zero. Di conseguenza, un punto geometrico in un quadrante può corrispondere a diversi punti con segno lungo una circonferenza, tutti inclusi nel conteggio. Sono compresi anche i punti sugli assi: un quadrato perfetto presenta rappresentazioni come (a, 0), (-a, 0), (0, a) e (0, -a). Il valore speciale n = 0 ha una sola rappresentazione, (0, 0). Il campo r_two adotta la notazione standard r₂(n). Restituisce un conteggio, non un elenco di coppie, e rimane quindi pratico anche quando n ammette molte rappresentazioni. L’input deve essere un intero non negativo. Numeri decimali, interi non sicuri, valori negativi e valori oltre il limite dichiarato vengono rifiutati senza arrotondamenti o interpretazioni implicite, mantenendo inequivocabile il significato matematico della risposta.

Come viene calcolato r₂(n)

L’algoritmo fattorizza n e applica il classico teorema sul conteggio delle somme di due quadrati. Per n positivo, r₂(n) è quattro volte la differenza tra il numero di divisori congruenti a 1 modulo 4 e il numero di quelli congruenti a 3 modulo 4. Una forma equivalente basata sui fattori è più rapida: se un primo congruente a 3 modulo 4 compare con esponente dispari, il conteggio è zero. Altrimenti si moltiplica uno più l’esponente di ogni fattore primo congruente a 1 modulo 4, quindi si moltiplica il prodotto per quattro. Le potenze di 2 non modificano il prodotto. Si consideri n = 65 = 5 × 13. Entrambi i primi sono 1 modulo 4 e hanno esponente uno, perciò r₂(65) = 4 × 2 × 2 = 16. L’implementazione esegue divisioni intere deterministiche e non esplora una griglia di coordinate, non contatta servizi remoti e non usa test probabilistici di primalità. Il massimo dichiarato limita il lavoro della fattorizzazione per tentativi e preserva l’esattezza degli interi accettati in entrambi i percorsi di esecuzione.

Come usare correttamente il risultato

Usi r_two quando serve il conteggio completo con segno e ordine adottato nelle formule aritmetiche, nei problemi sui punti reticolari e nei calcoli dei coefficienti delle serie theta. Non lo consideri il numero di scomposizioni essenzialmente diverse in due quadrati non negativi. Se interessano soltanto le combinazioni con 0 ≤ x ≤ y, occorre gestire separatamente la simmetria: una coppia con due coordinate distinte e non nulle produce otto rappresentazioni ordinate con segno; una coppia su un asse ne produce quattro; una coppia con coordinate uguali e non nulle ne produce quattro. Queste dimensioni delle orbite spiegano perché i valori positivi di r₂(n) sono normalmente multipli di quattro. Il caso zero è l’eccezione, poiché è valida soltanto l’origine. Quando non esiste alcuna rappresentazione, la capacità restituisce regolarmente zero, che non indica un errore di input. Per l’automazione, invii l’intero nel campo n e legga r_two nella risposta. Ogni richiesta API costa $0.002; la versione nel browser utilizza lo stesso calcolo puro. Conservi n insieme a r_two per poter ripetere verifiche future sugli stessi dati.