Contador de sumas de dos cuadrados

Tanto el orden como los signos importan, por lo que (1, 2), (2, 1), (-1, 2) y las demás variantes de signo son representaciones distintas. Introduzca un entero no negativo dentro del límite publicado para obtener un recuento determinista basado en su factorización prima, sin enumerar cada posible par de coordenadas. El resultado se puede usar directamente en cálculos y comprobaciones automatizadas.

Qué significa el número de representaciones ordenadas

Esta calculadora responde a una pregunta precisa de teoría de números: ¿cuántos pares de enteros (x, y) satisfacen x² + y² = n? La palabra ordenados es esencial. Cuando x e y son diferentes, intercambiarlos produce otra representación. Los signos también cuentan por separado siempre que una coordenada no sea cero. Así, un punto geométrico de un cuadrante puede corresponder a varios puntos con signo alrededor de una circunferencia, y la calculadora los incluye todos. También se cuentan los puntos de los ejes, de modo que un cuadrado perfecto recibe representaciones como (a, 0), (-a, 0), (0, a) y (0, -a). El valor especial n = 0 tiene una sola representación, (0, 0). El campo devuelto r_two sigue la notación habitual r₂(n). Es un recuento, no una lista de pares, por lo que resulta útil incluso si n admite muchas representaciones. La entrada debe ser un entero no negativo. Los decimales, los enteros no seguros, los números negativos y los valores superiores al límite declarado se rechazan, sin redondearlos ni interpretarlos silenciosamente.

Cómo se calcula r₂(n)

El algoritmo factoriza n y aplica el teorema clásico del recuento de sumas de dos cuadrados. Para n positivo, r₂(n) es cuatro veces la diferencia entre el número de divisores congruentes con 1 módulo 4 y el número de divisores congruentes con 3 módulo 4. Una forma equivalente basada en factores permite evaluarlo más deprisa: si algún primo congruente con 3 módulo 4 aparece con exponente impar, el resultado es cero. En caso contrario, se multiplica uno más el exponente de cada factor primo congruente con 1 módulo 4 y después se multiplica el producto por cuatro. Las potencias de 2 no alteran ese producto. Por ejemplo, n = 65 = 5 × 13. Ambos primos son 1 módulo 4 y tienen exponente uno, así que r₂(65) = 4 × 2 × 2 = 16. La implementación usa división entera determinista; no recorre una cuadrícula de coordenadas, no consulta servicios remotos ni emplea pruebas probabilísticas de primalidad. El máximo declarado limita el trabajo de factorización por divisiones sucesivas y mantiene todos los resultados exactos.

Cómo interpretar correctamente el resultado

Utilice r_two cuando necesite el recuento completo con signo y orden que aparece en fórmulas aritméticas estándar, problemas de puntos reticulares y cálculos de coeficientes de series theta. No lo interprete como el número de descomposiciones esencialmente distintas en dos cuadrados no negativos. Si solo le interesan las combinaciones con 0 ≤ x ≤ y, deberá tener en cuenta la simetría por separado: un par con dos coordenadas distintas y no nulas aporta ocho representaciones ordenadas con signo; un par situado en un eje aporta cuatro; y un par con coordenadas iguales no nulas aporta cuatro. Esos tamaños de órbita explican por qué los valores positivos de r₂(n) suelen ser múltiplos de cuatro. El caso cero es la excepción, pues solo sirve el origen. La capacidad devuelve cero con normalidad cuando no existe ninguna representación; eso no es un error de entrada. Para automatizar, envíe el entero en el campo n y lea r_two en la respuesta. Cada solicitud API cuesta $0.002; la versión del navegador ejecuta el mismo cálculo puro.