Nombre de sommes de deux carrés

L’ordre et les signes comptent : (1, 2), (2, 1), (-1, 2) et les autres variantes de signes constituent donc des représentations distinctes. Saisissez un entier positif ou nul dans la limite publiée pour obtenir un résultat déterministe issu de sa décomposition en facteurs premiers, sans énumérer tous les couples de coordonnées possibles. Vous pouvez exploiter directement ce résultat dans des calculs ou des contrôles automatisés.

Comprendre le nombre de représentations ordonnées

Ce calculateur répond à une question précise de théorie des nombres : combien de couples d’entiers (x, y) vérifient x² + y² = n ? Le terme ordonnés est essentiel. Si x et y sont différents, leur permutation produit une autre représentation. Les signes sont également comptés séparément dès qu’une coordonnée n’est pas nulle. Ainsi, un point géométrique situé dans un quadrant peut correspondre à plusieurs points signés autour d’un cercle, tous pris en compte par le calculateur. Les points des axes sont aussi inclus : un carré parfait admet donc des représentations comme (a, 0), (-a, 0), (0, a) et (0, -a). La valeur particulière n = 0 possède une seule représentation, (0, 0). Le champ r_two respecte la notation usuelle r₂(n). Il fournit un nombre, et non une liste de couples, ce qui reste pratique lorsque n possède de nombreuses représentations. La valeur saisie doit être un entier positif ou nul. Les décimaux, entiers non sûrs, nombres négatifs et valeurs supérieures à la borne déclarée sont rejetés sans arrondi ni interprétation implicite.

Méthode de calcul de r₂(n)

L’algorithme factorise n puis applique le théorème classique de comptage des sommes de deux carrés. Pour n strictement positif, r₂(n) vaut quatre fois la différence entre le nombre de diviseurs congrus à 1 modulo 4 et celui des diviseurs congrus à 3 modulo 4. Une forme équivalente fondée sur la factorisation est plus rapide : si un nombre premier congru à 3 modulo 4 apparaît avec un exposant impair, le résultat est nul. Sinon, il faut multiplier un plus l’exposant de chaque facteur premier congru à 1 modulo 4, puis multiplier le produit obtenu par quatre. Les puissances de 2 ne modifient pas ce produit. Prenons n = 65 = 5 × 13. Les deux nombres premiers valent 1 modulo 4 et ont chacun l’exposant un, donc r₂(65) = 4 × 2 × 2 = 16. L’implémentation n’effectue que des divisions entières déterministes : elle ne parcourt aucune grille, ne contacte aucun service distant et n’emploie aucun test probabiliste de primalité. La borne déclarée limite le travail de factorisation et garantit des calculs entiers exacts.

Bien exploiter le résultat

Utilisez r_two lorsque vous avez besoin du décompte complet, signé et ordonné, employé dans les formules arithmétiques classiques, les problèmes de points de réseau ou les coefficients de séries thêta. Ne le confondez pas avec le nombre de décompositions essentiellement différentes en deux carrés positifs ou nuls. Si seules les combinaisons vérifiant 0 ≤ x ≤ y vous intéressent, vous devez traiter la symétrie séparément : un couple de coordonnées distinctes et non nulles produit huit représentations ordonnées signées, un couple situé sur un axe en produit quatre, et deux coordonnées égales non nulles en produisent quatre. Ces tailles d’orbite expliquent pourquoi les valeurs positives de r₂(n) sont généralement des multiples de quatre. Le cas zéro fait exception puisque seule l’origine convient. La capacité renvoie normalement zéro lorsqu’aucune représentation n’existe ; il ne s’agit pas d’une erreur de saisie. Pour automatiser le calcul, envoyez l’entier dans le champ n et lisez r_two dans la réponse. Chaque requête API coûte $0.002 ; la version dans le navigateur exécute exactement le même calcul pur.