Logarithmische Ungleichungen lösen mit Intervallschreibweise

Er bestimmt zunächst, wo das Argument positiv ist, wandelt den Vergleich in die Exponentialform um und gibt die reelle Lösungsmenge in Intervallschreibweise zurück. Unterstützt werden natürliche und dekadische Logarithmen sowie explizite positive Basen ungleich eins. Liegt die Basis zwischen null und eins, wird die Vergleichsrichtung korrekt umgekehrt. Deshalb enthält das Ergebnis sowohl die umgeformte Ungleichung als auch deren Schnittmenge mit dem Definitionsbereich.

Geben Sie eine unterstützte logarithmische Ungleichung ein

Schreiben Sie den Logarithmus links und eine endliche numerische Konstante rechts. Zulässige Formen sind beispielsweise ln(2x + 1) <= 0, log(x) > 2, log10(x - 4) >= 1 und log_2(x - 1) > 3. Die Schreibweise log ohne Zusatz bedeutet Basis zehn, ln steht für die Basis e. Eine ausdrücklich angegebene Basis folgt auf den Unterstrich; sie muss positiv sein und darf nicht eins betragen. Im Logarithmus akzeptiert der Rechner genau einen linearen x-Term und optional eine Konstante, mit oder ohne Multiplikationszeichen. Diese bewusst begrenzte Grammatik hält das Ergebnis nachvollziehbar und deterministisch: Jeder akzeptierte Ausdruck wird auf zwei lineare Ungleichungen zurückgeführt, statt an ein undurchsichtiges symbolisches System übergeben zu werden. Rechts muss eine Dezimalzahl stehen; als Vergleich sind strenge oder einschließende Operatoren erlaubt. Potenzen von x, Produkte aus Variablen, mehrere Logarithmen, Variablen auf der rechten Seite und zusammengesetzte Vergleiche führen zu einem Eingabefehler. So entsteht keine scheinbar plausible Antwort für eine nicht unterstützte Form. Diese klare Grenze eignet sich für Unterricht, Lösungskontrollen und Softwaretests, bei denen ein eindeutiger Vertrag ebenso wichtig ist wie das Resultat.

Wandeln Sie in die Exponentialform um, ohne die Richtung zu verlieren

Bei einer Basis größer als eins ist der Logarithmus streng monoton steigend. Ist der Logarithmus eines Arguments zur Basis b größer als c, so ist das Argument daher größer als b hoch c; das Vergleichszeichen bleibt erhalten. Eine Basis zwischen null und eins verhält sich anders, weil ihr Logarithmus fallend ist. Dann muss jeder Vergleich bei der Umformung umgekehrt werden: Aus einem Logarithmus zur Basis b, der größer als c ist, wird ein Argument, das kleiner als b hoch c ist. Die Antwort weist Basis, Monotonie, Exponentialform, berechneten Schwellenwert und umgeformte lineare Ungleichung getrennt aus, damit diese Entscheidung sichtbar bleibt. Beispielsweise wird ein Logarithmus von x zur Basis ein halb, der größer als eins ist, zu x kleiner als ein halb und nicht zu x größer als ein halb. Einschließende Operatoren bleiben auch nach einer nötigen Umkehr einschließend. Die Berechnung verwendet endliche reelle Arithmetik und lehnt Schwellenwerte ab, die gegen unendlich überlaufen oder durch Unterlauf null werden. Eine gerundete endliche Grenze würde dort die Lösung verfälschen. Netzwerk, Zufall, aktuelles Datum und externe Algebra-Dienste werden nicht verwendet; dieselbe gültige Eingabe liefert immer dieselbe strukturierte Ausgabe und dieselben Schritte.

Beachten Sie den Definitionsbereich und lesen Sie das Intervall

Ein reeller Logarithmus ist nur definiert, wenn sein Argument strikt positiv ist. Diese Einschränkung wird vor dem exponentiellen Vergleich berechnet und anschließend mit der aus der Umformung gewonnenen Ungleichung geschnitten. Das ist besonders wichtig, wenn die umgeformte Bedingung über die Nullstelle des Arguments hinausweist. Bei ln(2x + 1) kleiner oder gleich null ergibt die Umformung 2x + 1 kleiner oder gleich eins; zugleich verlangt der Definitionsbereich 2x + 1 größer als null. Zusammen entsteht ein bei minus ein halb offenes und bei null geschlossenes Intervall. Die Antwort nennt den Definitionsbereich separat und zeigt danach eine lesbare Lösung sowie die Intervallschreibweise. Runde Klammern schließen Grenzen aus, eckige Klammern schließen endliche Grenzen ein, und bei unendlich steht stets eine runde Klammer. Ein einseitiges Ergebnis wie x größer als neun erscheint als (9, ∞), ein beschränktes Ergebnis kann als (-0.5, 0] erscheinen. Die Schrittliste unterstützt Erklärung und Prüfung: Sie nennt die Positivitätsbedingung, bestimmt das Steigen oder Fallen des Logarithmus, zeigt die exponentielle Umformung und hält den abschließenden Schnitt fest. Der Rechner verschweigt den Definitionsbereich auch dann nicht, wenn die umgeformte Ungleichung die Positivität bereits erzwingt, denn seine Angabe gehört zur vollständigen Lösung.