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複素数を三角関数形式に変換

複素数の三角関数形式変換ツールは、複素数の実部 a と虚部 b を受け取り、その極形式の記述を返します。すなわち、複素平面上の原点から点 (a, b) までの距離である絶対値 r と、その点が実軸の正の方向となす角度である偏角 θ です。偏角はラジアンと度の両方で返され、すぐにコピーできる三角関数の式 r(cos(θ) + i sin(θ)) も付きます。数学の授業で手計算するのとまったく同じ計算を、1回の呼び出しで決定的に実行します。マシン間の丸め誤差のずれも近似のごまかしもなく、絶対値には斜辺の計算を、角度には2引数の逆正接を使うだけです。

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直交形式から三角関数形式へ

a + bi と書かれた複素数は直交形式です。実軸に沿って a 単位、虚軸に沿って b 単位進むことで平面上の点を指定します。三角関数形式は、同じ点を航海士のように距離と方位で記述します。距離は絶対値で、a の2乗と b の2乗の和の平方根として計算されます。方位は偏角で、実軸の正の方向から反時計回りに測った角度です。展開すると、その数は r に角度の余弦を掛けたものに i 掛ける角度の正弦を加えた形になります。数そのものは何も変わりません。変わるのは記述だけです。そして、この記述の切り替えこそが、複素数の乗法・除法・べき乗・根を簡単にする理由です。極形式の言葉では、これらの操作は絶対値の乗算と偏角の加算に帰着するからです。このエンドポイントは変換を1つの決定的なステップで実行し、結果のすべての要素を返しますので、次の計算に必要な部分をそのままお使いいただけます。

絶対値と偏角の計算方法

絶対値は、2乗和の平方根という素朴な式ではなく、斜辺を求めるアルゴリズムで計算します。非常に大きい成分や非常に小さい成分では、この違いが重要です。素朴な式では、真の答えがごく普通の数であっても、無限大にオーバーフローしたり 0 にアンダーフローしたりすることがあるからです。偏角は、b/a の単純な逆正接ではなく、2引数の逆正接で計算します。この区別が角度を正しい象限に置く鍵です。1 + i と -1 - i は b/a の比が同じですが、向きは正反対であり、2引数版だけが両者を区別できます。結果は偏角の主値で、-π より大きく π 以下の半開区間に収まり、ラジアンで返され、度にも換算されます。両方の入力は有限の数値でなければなりません。解釈できない文字列、無限大、NaN は、黙って変換されるのではなく、無効な入力として拒否されます。

変換が力を発揮する場面

三角関数形式は、複素数を繰り返し掛け合わせる場面での作業表現です。電気技術者は交流回路の解析でインピーダンスと位相差を合成するために使います。そこでは絶対値が大きさ、偏角が位相角です。信号処理のコードは、フーリエ変換から出てきた周波数ビンの振幅と位相を読み取るために使います。学生はド・モアブルの定理を適用するために使います。この定理は、絶対値をべき乗し偏角を掛けることで複素数のべき乗を求めるもので、直交形式ではほぼ不可能なことが極形式ではほぼ自明になります。この機能はグローバルなエッジ上で実行され、呼び出し後に何も保存されません。ここで動いているのと同じコードが、このページのブラウザ上でも無料で動きますので、1つの数を手で確認するだけなら無料で、パイプラインの中で変換を自動化するときだけ1リクエスト $0.002 をお支払いいただく形になります。

活用例

ド・モアブルによるべき乗・根の計算を準備する

a + bi を r(cos(θ) + i sin(θ)) に変換すれば、べき乗と n 乗根は r と θ 上の算術に帰着します。

交流回路解析で大きさと位相を読み取る

抵抗プラスリアクタンスとして与えられたインピーダンスを、その大きさと位相角に変換して他の部品と合成します。

FFT 出力ビンを解釈する

周波数ビンの実部と虚部を、1回の決定的な呼び出しで振幅と位相に変換します。

よくある質問

料金はいくらですか？

1リクエスト $0.002 です。このページのブラウザ上でも無料で実行できます。

偏角はどの範囲で返されますか？

主値です。-π より大きく π 以下のラジアン（-180度から180度）で、実軸の正の方向から反時計回りに測られます。

数値ゼロの場合はどうなりますか？

0 は絶対値 0 を持ち、2引数の逆正接の規約により偏角は 0 です。三角関数形式は 0 に任意の角度を掛けたものなので、値 0 が返されます。

無効な入力エラーになるのはなぜですか？

実部と虚部の両方が有限の数値である必要があります。無限大、NaN、欠落したフィールド、非数値の文字列はすべて拒否されます。

角度に単純な arctan(b/a) を使わないのはなぜですか？

単一の比の逆正接では反対の象限を区別できないからです。1 + i と -1 - i は同じ比になります。2引数の逆正接は両方の部分の符号を使い、正しい角度を返します。

入力はどこかに保存されますか？

いいえ。2つの数値は処理されて破棄され、変換結果だけが返されます。

開発者向け — APIアクセス

このページの機能はすべてAPIからも利用できます。自社システムに組み込みたいチーム向けのセクションです。それ以外の方は上のツールをそのままお使いください。

エンドポイント

POSThttps://api.kit.forhosting.com/math/complex-number-to-trigonometric-form

Bearerトークンで認証し、POST1回でタスクをキューに登録します。結果はWebhookまたは署名付きリンクで受け取れます。

お使いのスタックから呼び出す

curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/math/complex-number-to-trigonometric-form \
  -H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
  -H "Content-Type: application/json" \
  -d '{"real":1,"imag":1}'

const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/math/complex-number-to-trigonometric-form", {
  method: "POST",
  headers: {
    "Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
    "Content-Type": "application/json"
  },
  body: JSON.stringify({
    "real": 1,
    "imag": 1
  })
});
const { task_id } = await res.json();

import os, requests

res = requests.post(
    "https://api.kit.forhosting.com/math/complex-number-to-trigonometric-form",
    headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
    json={
    "real": 1,
    "imag": 1
},
)
task_id = res.json()["task_id"]

<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/math/complex-number-to-trigonometric-form", false, stream_context_create([
  "http" => [
    "method"  => "POST",
    "header"  => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
    "content" => '{"real":1,"imag":1}',
  ],
]));
$task = json_decode($res, true);

body := bytes.NewBufferString(`{"real":1,"imag":1}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/math/complex-number-to-trigonometric-form", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)

リクエスト例

{
  "real": 1,
  "imag": 1
}

レスポンス例

{
  "task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
  "type": "math.complex_number_to_trigonometric_form",
  "status": "queued",
  "_links": {
    "result": "/tasks/tsk_…/result"
  }
}

非同期APIです。task_idは即時に返ります。ポーリングは1秒あたり1リクエストまでです。

料金

1リクエストあたり$0.002

単価はすべて公開しています。トークン換算や独自クレジットはありません。失敗したタスクは課金されません。

エラー

HTTP	コード	意味
`401`	`unauthorized`	APIキーが無効か、指定されていません。Authorizationヘッダーを確認してください。
`402`	`insufficient_balance`	残高が不足しています。チャージ後に再度お試しください。
`404`	`unknown_type`	指定されたタスクタイプは存在しません。タイプ名を確認してください。
`429`	`rate_limited`	リクエストが多すぎます。しばらく待ってから再度お試しください。

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