Nombre complexe en forme trigonométrique

Vous obtenez l'argument en radians et en degrés, ainsi qu'une expression trigonométrique prête à copier : r(cos(θ) + i sin(θ)). C'est exactement le même calcul que celui fait à la main dans un cours de mathématiques, exécuté de manière déterministe en un seul appel, sans dérive d'arrondi entre machines ni astuces d'approximation : simplement l'hypoténuse pour le module et l'arc tangente à deux arguments pour l'angle.

De la forme algébrique à la forme trigonométrique

Un nombre complexe écrit a + bi est en forme algébrique : il désigne un point du plan en parcourant a unités le long de l'axe réel et b unités le long de l'axe imaginaire. La forme trigonométrique décrit le même point comme le ferait un navigateur — par une distance et une direction. La distance est le module, calculé comme la racine carrée de a au carré plus b au carré, et la direction est l'argument, l'angle mesuré dans le sens trigonométrique depuis le demi-axe réel positif. Développé, le nombre devient r multiplié par le cosinus de l'angle plus i fois le sinus de l'angle. Le nombre ne change en rien ; seule sa description change. Et c'est précisément ce changement de description qui rend simples la multiplication, la division, les puissances et les racines des nombres complexes, car en langage polaire ces opérations reviennent à multiplier les modules et additionner les angles. Ce endpoint effectue la conversion en une seule étape déterministe et renvoie chaque élément du résultat pour que vous utilisiez celui dont votre calcul suivant a besoin.

Comment le module et l'argument sont calculés

Le module est calculé avec l'algorithme de l'hypoténuse plutôt qu'avec la naïve racine carrée de la somme des carrés, ce qui compte pour des composantes très grandes ou très petites : la formule naïve peut déborder vers l'infini ou s'écraser à zéro alors que la vraie réponse est un nombre tout à fait ordinaire. L'argument est calculé avec l'arc tangente à deux arguments, et non avec une simple arc tangente de b sur a. Cette distinction est ce qui place l'angle dans le bon quadrant : un plus i et moins un moins i ont le même rapport b sur a, mais pointent dans des directions opposées, et seule la version à deux arguments sait les distinguer. Le résultat est la valeur principale de l'argument, située dans l'intervalle semi-ouvert de moins pi à pi, renvoyée en radians et convertie en degrés. Les deux entrées doivent être des nombres finis ; une chaîne non interprétable, un infini ou un NaN sont rejetés comme entrée invalide au lieu d'être convertis silencieusement.

Où la conversion se révèle précieuse

La forme trigonométrique est la représentation de travail partout où les nombres complexes sont multipliés à répétition. Les ingénieurs électriciens l'utilisent pour combiner impédances et déphasages dans l'analyse des circuits à courant alternatif, où le module est une amplitude et l'argument un angle de phase. Les codes de traitement du signal l'utilisent pour lire l'amplitude et la phase d'un bin de fréquence issu d'une transformée de Fourier. Les étudiants l'utilisent pour appliquer le théorème de De Moivre, qui élève un nombre complexe à une puissance en élevant le module et en multipliant l'angle — presque impossible en forme algébrique, presque trivial en forme polaire. Cette capacité s'exécute sur notre edge mondial sans rien conserver après l'appel, et le même code qui tourne ici tourne gratuitement dans votre navigateur sur cette page : vous pouvez vérifier un nombre à la main et ne payer $0.002 par requête que lorsque vous automatisez la conversion dans un pipeline.