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ニュートン・ラフソン法1回分の計算ツール

この計算ツールは、現在の近似値からニュートン・ラフソン法をちょうど1回だけ実行します。関数 f(x)、その導関数 f'(x)、現在値 x_n を入力してください。両方の式をその点で評価し、関数値を導関数値で割った補正量を現在値から引いて x_(n+1) を求めます。途中の数値もすべて返すため、演習の確認、数値計算手順の記録、反復を続けるか判断する前の1回分の検討にご利用いただけます。

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関数、導関数、現在の近似値をご入力ください

まず、根を近似したい関数と、その導関数を別々の式として記述してください。どちらも変数には x を使用します。四則演算、括弧、べき乗、定数 pi と e、および sin、cos、tan、exp、log、sqrt、abs などの一般的な関数に対応しています。乗算は 2x ではなく 2*x のように明示してください。典型例 f(x) = x^2 - 2 では、関数に x^2 - 2、導関数に 2*x を入力します。続いて、この1回の計算を開始する近似値 x_current を指定してください。通常は根に比較的近く、導関数が存在してゼロにならない領域の値が適切です。f(x) = や f'(x) = という接頭表記も受け付けますが、自動処理では式だけを入力する方が明確です。数値は無次元として扱われるため、物理量を表す場合は単位系を統一してください。解析器は数学記法だけを受け付け、プログラムコードを実行しません。式の長さには上限があり、入力値と計算値はすべて有限でなければなりません。この制約により、保存した入力を再現でき、未定義の演算を正常な結果に見せることを防ぎます。

1回のニュートン・ラフソン更新をご確認ください

ニュートン・ラフソン法では、現在の近似点における接線が x 軸と交わる位置を次の候補にします。最初に f(x_current) と f'(x_current) を評価し、補正量 f(x_current) / f'(x_current) を求めて、x_next = x_current - correction を適用します。出力には現在の近似値、関数値、導関数値、補正量、次の近似値が含まれるため、各計算を個別に確認できます。x^2 - 2 に x_current = 1.5 を用いると、関数値は 0.25、導関数値は 3 です。補正量は約 0.0833333333 となり、差し引いた結果は約 1.4166666667 です。実行する更新は1回だけであり、x_next を自動的に再入力することはありません。そのため、授業、計算用紙、別のシステムが停止条件を管理する処理に適しています。精度の設定は JSON に表示する小数桁だけを変更し、式の評価と減算にはその前に浮動小数点精度を使用します。導関数がゼロの場合や式が現在点で未定義の場合は、無限値や誤解を招く近似値ではなく入力エラーを返します。

次の近似値を解釈し、その後の処理をご判断ください

次の近似値は数値的な候補であり、根の存在や収束を証明するものではありません。開始点が単根に十分近く、その周辺で関数が滑らかなら、ニュートン・ラフソン法は速く収束することが多いものの、1回の計算だけでは条件を確認できません。関数値と補正量の大きさをご確認ください。補正量が小さい場合は安定化の兆候かもしれませんが、導関数が非常に大きい場合にも起こるため、採用前に後続の手順で f(x_next) を評価してください。補正量が大きければ、接線の交点が現在点から遠いことを示します。反復を続けると、発散、振動、定義域外への移動、意図しない別の根への収束が起こる場合があります。重根では通常の収束速度も低下します。信頼できる処理には、補正量と残差の両方に停止基準を設け、最大反復回数を定め、既知の区間があれば挟み撃ち法とも比較してください。このツールは導関数を数値的に推定せず、明示された式を同じ x_current で評価します。そのため、記号微分の検算、接線を使う考え方の説明、大きなソルバーへの決定的な1ステップの組み込みに役立ちます。APIは1回$0.002で、ブラウザー版では同じ純粋計算をローカル実行できます。

活用例

演習の1回分を検算する

手計算した結果を、返された関数値、導関数、補正量、次の近似値と比較できます。

難しい開始点を調べる

反復を続ける前に1回だけ実行し、接線による補正が妥当かをご確認いただけます。

監視付きソルバーを構築する

別の処理で許容誤差、記録、反復上限を管理しながら、決定的な更新を1回ずつ呼び出せます。

よくある質問

APIリクエストの料金はいくらですか？

API料金は1リクエストあたり$0.002です。ブラウザー計算ツールでは同じ純粋計算を無料でローカル実行します。

このツールだけで根を最後まで求められますか？

いいえ。ニュートン・ラフソン更新をちょうど1回だけ実行します。収束方針で継続すべき場合に限り、x_next を新しい x_current としてお使いください。

導関数を入力する必要があるのはなぜですか？

式に f'(x_current) が必要だからです。導関数を明示すると、数値差分の隠れた選択を避け、計算を監査できます。

導関数がゼロの場合はどうなりますか？

ゼロ除算では有効な補正量を得られないため、無効な入力としてエラーを返します。

どのような式の記法に対応していますか？

x、数値、明示的な四則演算、括弧、べき乗、pi、e、および三角、指数、対数、平方根、絶対値などの1引数関数をご利用いただけます。

補正量が小さければ収束は保証されますか？

いいえ。次の近似値で残差を確認し、停止条件、反復上限、対象領域に関する知識を併用してください。

開発者向け — APIアクセス

このページの機能はすべてAPIからも利用できます。自社システムに組み込みたいチーム向けのセクションです。それ以外の方は上のツールをそのままお使いください。

エンドポイント

POSThttps://api.kit.forhosting.com/calculus/newton-raphson-single-step

Bearerトークンで認証し、POST1回でタスクをキューに登録します。結果はWebhookまたは署名付きリンクで受け取れます。

お使いのスタックから呼び出す

curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/calculus/newton-raphson-single-step \
  -H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
  -H "Content-Type: application/json" \
  -d '{"function":"x^2 - 2","derivative":"2*x","x_current":1.5}'

const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/calculus/newton-raphson-single-step", {
  method: "POST",
  headers: {
    "Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
    "Content-Type": "application/json"
  },
  body: JSON.stringify({
    "function": "x^2 - 2",
    "derivative": "2*x",
    "x_current": 1.5
  })
});
const { task_id } = await res.json();

import os, requests

res = requests.post(
    "https://api.kit.forhosting.com/calculus/newton-raphson-single-step",
    headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
    json={
    "function": "x^2 - 2",
    "derivative": "2*x",
    "x_current": 1.5
},
)
task_id = res.json()["task_id"]

<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/calculus/newton-raphson-single-step", false, stream_context_create([
  "http" => [
    "method"  => "POST",
    "header"  => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
    "content" => '{"function":"x^2 - 2","derivative":"2*x","x_current":1.5}',
  ],
]));
$task = json_decode($res, true);

body := bytes.NewBufferString(`{"function":"x^2 - 2","derivative":"2*x","x_current":1.5}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/calculus/newton-raphson-single-step", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)

リクエスト例

{
  "function": "x^2 - 2",
  "derivative": "2*x",
  "x_current": 1.5
}

レスポンス例

{
  "task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
  "type": "calculus.newton_raphson_single_step",
  "status": "queued",
  "_links": {
    "result": "/tasks/tsk_…/result"
  }
}

非同期APIです。task_idは即時に返ります。ポーリングは1秒あたり1リクエストまでです。

料金

1リクエストあたり$0.002

単価はすべて公開しています。トークン換算や独自クレジットはありません。失敗したタスクは課金されません。

エラー

HTTP	コード	意味
`401`	`unauthorized`	APIキーが無効か、指定されていません。Authorizationヘッダーを確認してください。
`402`	`insufficient_balance`	残高が不足しています。チャージ後に再度お試しください。
`404`	`unknown_type`	指定されたタスクタイプは存在しません。タイプ名を確認してください。
`429`	`rate_limited`	リクエストが多すぎます。しばらく待ってから再度お試しください。

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