Calculateur d’une étape de Newton-Raphson

Saisissez une fonction f(x), sa dérivée f'(x) et la valeur présente x_n. L’outil évalue les deux expressions en ce point, divise la valeur de la fonction par celle de la dérivée, puis soustrait la correction obtenue afin de produire x_(n+1). Il restitue aussi chaque nombre intermédiaire, ce qui vous permet de vérifier un exercice, de documenter un calcul numérique ou d’examiner une itération avant de décider de poursuivre.

Saisissez la fonction, sa dérivée et l’estimation actuelle

Écrivez la fonction dont vous recherchez une racine, puis une expression distincte pour sa dérivée. Les deux emploient x comme variable. Vous pouvez utiliser les opérateurs arithmétiques, les parenthèses, les puissances, les constantes pi et e, ainsi que des fonctions usuelles telles que sin, cos, tan, exp, log, sqrt et abs. Rendez la multiplication explicite : écrivez 2*x et non 2x. Pour l’exemple classique f(x) = x^2 - 2, saisissez x^2 - 2 comme fonction et 2*x comme dérivée. Indiquez ensuite x_current, l’estimation au début de cette étape. Une bonne valeur initiale se situe généralement près de la racine, dans une zone où la dérivée existe et n’est pas nulle. Les préfixes f(x) = et f'(x) = sont acceptés, mais les expressions seules restent plus claires dans un script. Les valeurs sont traitées comme des nombres sans dimension ; conservez donc des unités cohérentes pour toute grandeur physique. L’analyseur n’accepte que la syntaxe mathématique et n’exécute jamais de code. La longueur est bornée et chaque valeur doit être finie, afin de garantir un calcul reproductible sans masquer d’opération indéfinie.

Suivez l’unique mise à jour de Newton-Raphson

La méthode de Newton-Raphson utilise la tangente à l’estimation actuelle pour prévoir son intersection avec l’axe x. Le calculateur évalue d’abord f(x_current) et f'(x_current), forme ensuite la correction f(x_current) / f'(x_current), puis applique x_next = x_current - correction. Le résultat expose l’estimation actuelle, la valeur fonctionnelle, la dérivée, la correction et l’estimation suivante, afin que vous puissiez contrôler chaque opération. Avec x^2 - 2 et x_current = 1.5, la fonction vaut 0.25 et la dérivée 3. Le quotient vaut environ 0.0833333333 et sa soustraction donne près de 1.4166666667. Une seule mise à jour est exécutée : x_next n’est pas réinjecté automatiquement. Cette limite convient aux cours, aux feuilles d’exercices et aux processus où un autre système décide de l’arrêt. L’option de précision modifie uniquement les décimales présentées dans le JSON ; l’évaluation et la soustraction conservent auparavant la précision flottante. Si la dérivée vaut zéro ou si une expression est indéfinie au point actuel, une erreur d’entrée est renvoyée plutôt qu’une valeur infinie ou trompeuse.

Interprétez l’estimation suivante et choisissez la suite

L’estimation suivante est une proposition numérique, et non la preuve qu’une racine existe ou que la méthode convergera. Newton-Raphson converge souvent vite lorsque le départ est assez proche d’une racine simple et que la fonction est régulière dans cette zone, mais une étape ne suffit pas à établir ces conditions. Examinez la taille de la valeur fonctionnelle et de la correction. Une faible correction peut suggérer une stabilisation, mais elle peut aussi provenir d’une très grande dérivée ; évaluez donc f(x_next) lors d’une étape ultérieure avant de conclure. Une forte correction indique que la tangente coupe l’axe loin du point actuel. Des itérations répétées peuvent diverger, osciller, quitter le domaine ou atteindre une autre racine. Les racines multiples ralentissent aussi la convergence habituelle. Pour un calcul fiable, définissez des tolérances sur la correction et le résidu, imposez un nombre maximal d’itérations et comparez avec une méthode d’encadrement si un intervalle est connu. Ce calculateur n’estime pas numériquement la dérivée : l’expression explicite reste contrôlable et s’évalue au même x_current. Vous pouvez ainsi auditer une dérivation symbolique, enseigner le principe de la tangente ou intégrer une mise à jour déterministe à un solveur plus large. L’API coûte $0.002 par requête et la version navigateur exécute localement le même calcul pur.