Méthode d’Euler pour système 2D

Saisissez les deux dérivées, l’état initial, un pas fixe et le nombre d’itérations. Le résultat présente chaque mise à jour simultanée ainsi que les pentes évaluées au point précédent. Vous pouvez ainsi examiner toute la trajectoire numérique plutôt que la seule valeur finale. Cet outil convient aux exercices, aux contrôles rapides de modèles et aux calculs reproductibles nécessitant une méthode transparente du premier ordre.

Définissez le problème couplé à valeurs initiales

Écrivez une expression pour dy/dx et une autre pour dz/dx. Toutes deux peuvent employer la variable indépendante x et les variables dépendantes y et z, par exemple y + z et x - y. La multiplication doit être explicite : saisissez 2*y et non 2y. Le parseur accepte les parenthèses, les nombres décimaux, la notation scientifique, les opérateurs +, -, *, / et ^, les constantes pi et e, ainsi que sin, cos, tan, exp, log, sqrt et abs. Indiquez ensuite x0, y0 et z0. Les deux pentes sont évaluées à partir du même état courant avant toute modification. Calculer z avec une valeur de y déjà avancée ne correspondrait plus à la méthode d’Euler explicite standard.

Suivez chaque mise à jour à pas fixe

Pour le pas h et le point courant (x_n, y_n, z_n), le calculateur évalue f_n = f(x_n,y_n,z_n) et g_n = g(x_n,y_n,z_n), puis applique y_(n+1) = y_n + h*f_n, z_(n+1) = z_n + h*g_n et x_(n+1) = x_n + h. La sortie commence à l’étape zéro avec l’état initial, puis recense chaque point obtenu. Les champs dy_dx et dz_dx d’une ligne sont les pentes utilisées pour l’atteindre depuis la ligne précédente. Pour vérifier le calcul, multipliez chaque pente par le pas et ajoutez le résultat à l’ancienne valeur. Un pas négatif permet de progresser vers des x inférieurs. Le point final vaut toujours x0 + steps*h, sans arrondi caché ni dernier intervalle raccourci.

Choisissez le pas et interprétez le résultat

La méthode d’Euler fournit une approximation numérique du premier ordre, et non une solution symbolique ou une garantie d’erreur. Réduire la valeur absolue du pas améliore souvent l’approximation d’un système régulier, au prix d’itérations supplémentaires. Vous pouvez refaire le calcul avec un pas divisé par deux et deux fois plus d’étapes, puis comparer les états aux mêmes x. Un écart important signale un maillage trop grossier. Les systèmes raides, singuliers, discontinus ou très sensibles peuvent rester mal adaptés à Euler explicite. Le traitement s’arrête si une dérivée ou une mise à jour devient infinie ou NaN. Utilisez cette table pour apprendre, vérifier un exercice ou obtenir une première estimation. Pour un usage critique, choisissez une méthode adaptative d’ordre supérieur et validez séparément le modèle, les tolérances et les unités.