Calculateur Runge-Kutta 4 à un pas

Saisissez la dérivée sous la forme f(x, y), les coordonnées initiales et un pas non nul. Le résultat présente k1, k2, k3 et k4 comme estimations de pente, les points intermédiaires où elles sont évaluées, leur moyenne pondérée et l’approximation RK4 finale. Ce détail complet vous permet de vérifier un exercice, de valider un solveur numérique ou de documenter un pas sans masquer les calculs.

Décrivez clairement le problème à valeur initiale

Partez d’une équation du premier ordre écrite sous la forme y' = f(x, y). Dans le champ d’expression, saisissez uniquement le membre de droite, avec x et y comme variables indépendante et dépendante. Par exemple, si y' = x + y, saisissez x + y. L’analyseur accepte l’arithmétique courante, les parenthèses, les puissances écrites avec ^, les constantes pi et e, ainsi que des fonctions usuelles comme sin, cos, exp, log et sqrt. Indiquez ensuite le point connu (x, y) et le pas h. Un h positif avance vers la droite, tandis qu’un h négatif applique la même construction RK4 en sens inverse. Le pas ne peut pas être nul, car la solution n’avancerait pas. Toutes les entrées numériques et chaque valeur de fonction doivent être finies. La multiplication doit être explicite : écrivez 2*x et non 2x. Ce format précis empêche qu’un libellé d’équation ou une multiplication implicite soit interprété de façon inattendue et rend les quatre évaluations reproductibles.

Suivez les quatre estimations de pente

Le calculateur fournit k1 à k4 comme des pentes, selon la convention k1 = f(x, y), et non comme des accroissements déjà multipliés par h. D’abord, k1 utilise le point initial. La deuxième estimation emploie le milieu x + h/2 et prédit sa coordonnée y avec h*k1/2. La troisième reste au milieu, mais remplace cette prédiction par h*k2/2, ce qui corrige la direction avec la deuxième pente. Enfin, k4 évalue la dérivée en x + h avec une prédiction de y sur un pas entier fondée sur k3. Les champs renvoyés k2_point, k3_point et k4_point exposent directement ces coordonnées d’évaluation. Cette distinction compte, car certains manuels utilisent les mêmes symboles k pour h fois chaque pente. Si votre source suit cette autre convention, multipliez chaque valeur k affichée par h avant de comparer les étapes. L’approximation finale de y reste identique lorsque la formule correspondante est appliquée de manière cohérente.

Interprétez la mise à jour pondérée et ses limites

RK4 combine les pentes selon (k1 + 2*k2 + 2*k3 + k4)/6, en donnant aux deux estimations du milieu deux fois le poids de celles des extrémités. Le calculateur renvoie cette quantité sous le nom weighted_slope, puis calcule y_next = y + h*weighted_slope et x_next = x + h. Un pas RK4 est précis à l’ordre quatre au sens local habituel pour une dérivée suffisamment régulière, mais cela ne garantit pas que n’importe quel pas soit assez petit. Un problème à variation rapide, singulier, discontinu ou raide peut nécessiter un h bien plus faible ou une méthode avec contrôle d’erreur. Cet outil effectue volontairement un seul pas fixe : il n’estime pas l’erreur de troncature, n’adapte pas le pas et ne résout pas un intervalle. Pour évaluer la sensibilité, comparez un pas de taille h à deux pas successifs de taille h/2 dans un solveur complet. Servez-vous des étapes affichées pour repérer les différences dues à la saisie, à l’arrondi ou à la convention des pentes.