Euler-Verfahren für 2D-Systeme

Geben Sie beide Ableitungsausdrücke, den Anfangszustand, eine feste Schrittweite und die Schrittzahl ein. Das Ergebnis zeigt jede gleichzeitige Aktualisierung einschließlich der am vorherigen Punkt bestimmten Steigungen. So können Sie den gesamten numerischen Verlauf statt nur des Endwertes prüfen. Das Werkzeug eignet sich für Studium, schnelle Modellkontrollen und reproduzierbare Rechnungen mit einem transparenten Verfahren erster Ordnung.

Beschreiben Sie das gekoppelte Anfangswertproblem

Tragen Sie einen Ausdruck für dy/dx und einen weiteren für dz/dx ein. Beide dürfen die unabhängige Variable x sowie die abhängigen Variablen y und z verwenden, beispielsweise y + z und x - y. Schreiben Sie Multiplikationen ausdrücklich als 2*y und nicht als 2y. Unterstützt werden Klammern, Dezimalzahlen, wissenschaftliche Notation, die Operatoren +, -, *, / und ^, die Konstanten pi und e sowie sin, cos, tan, exp, log, sqrt und abs. Legen Sie anschließend mit x0, y0 und z0 den Anfangszustand fest. Beide Steigungen werden aus demselben aktuellen Zustand berechnet, bevor sich eine Variable ändert. Würde z bereits mit einem aktualisierten y berechnet, wäre dies nicht mehr das standardmäßige explizite Euler-Verfahren.

Verfolgen Sie jeden festen Euler-Schritt

Für die Schrittweite h und den Punkt (x_n, y_n, z_n) berechnet das Werkzeug f_n = f(x_n,y_n,z_n) und g_n = g(x_n,y_n,z_n). Danach gelten y_(n+1) = y_n + h*f_n, z_(n+1) = z_n + h*g_n und x_(n+1) = x_n + h. Die Ausgabe beginnt mit Schritt null und dem eingegebenen Anfangszustand. Jede weitere Zeile enthält dy_dx und dz_dx, also die Steigungen, mit denen sie vom vorherigen Punkt erreicht wurde. Zur Kontrolle multiplizieren Sie die Steigung mit der Schrittweite und addieren das Ergebnis zum vorherigen Wert. Mit einer negativen Schrittweite rechnen Sie in Richtung kleinerer x-Werte. Der Endpunkt lautet stets x0 + steps*h; es gibt weder eine verborgene Endpunktrundung noch ein verkürztes Schlussintervall.

Wählen Sie die Schrittweite und bewerten Sie das Ergebnis

Das Euler-Verfahren liefert eine numerische Näherung erster Ordnung, keine symbolische Lösung und keine Fehlergarantie. Eine kleinere absolute Schrittweite verringert bei glatten Systemen häufig den Diskretisierungsfehler, benötigt aber mehr Schritte. Wiederholen Sie die Rechnung mit halber Schrittweite und doppelter Schrittzahl und vergleichen Sie Zustände bei gleichen x-Werten. Große Abweichungen zeigen, dass das gröbere Raster ungeeignet ist. Steife, singuläre, unstetige oder hochempfindliche Systeme können sich trotz korrekter Eingabe schlecht für das explizite Euler-Verfahren eignen. Der Rechner bricht ab, falls eine Ableitung oder Aktualisierung unendlich oder NaN wird. Nutzen Sie die Tabelle zum Lernen, Prüfen einer Aufgabe oder für eine erste Schätzung. Für sicherheitskritische Ergebnisse sollten Sie ein adaptives Verfahren höherer Ordnung einsetzen und Modell, Toleranzen sowie Einheiten unabhängig validieren.