Rechner für die Ableitung einer logarithmischen Funktion

Geben Sie die Konstanten a und k sowie einen x-Wert aus dem reellen Definitionsbereich ein. Der Rechner wendet die Kettenregel an, vereinfacht die Ableitung, prüft die Zulässigkeit des Logarithmus und liefert einen verständlichen symbolischen Ausdruck samt Zahlenwert am gewählten Punkt.

Beschreiben Sie die logarithmische Funktion

Bestimmen Sie zunächst die drei Zahlen in der Aufgabe. Der Koeffizient a multipliziert den gesamten Logarithmus, während k das x innerhalb des Logarithmus multipliziert. Die letzte Eingabe, x, ist der Punkt, an dem die Ableitung ausgewertet wird. Bei einer Funktion, die als sechsmal ln von vier x geschrieben ist, gilt beispielsweise a gleich 6 und k gleich 4. Ist der gesuchte Punkt 3, geben Sie für x den Wert 3 ein. Alle drei Eingaben müssen endliche Zahlen sein, und k darf nicht null sein. Der Rechner verarbeitet positive und negative Werte, sofern der reelle Logarithmus sie zulässt. Insbesondere dürfen k und der Auswertungspunkt beide negativ sein, weil ihr Produkt dann positiv ist. Die Trennung des äußeren Koeffizienten vom inneren Skalierungsfaktor verhindert einen häufigen Ansatzfehler: a beeinflusst die Größe der Ableitung, während k den reellen Definitionsbereich der ursprünglichen Funktion bestimmt. Nach der Eingabe zeigt das Werkzeug die erkannte Funktion an, damit Sie deren mathematische Struktur vor der Nutzung des Ergebnisses prüfen können.

Wenden Sie die Kettenregel an und vereinfachen Sie

Für f(x) = a ln(kx) verwenden Sie zunächst die Standardregel, nach der die Ableitung von ln(u) gleich u Strich geteilt durch u ist. Der innere Ausdruck u lautet hier kx, seine Ableitung ist also k. Die Multiplikation mit dem äußeren Koeffizienten ergibt a mal k geteilt durch kx. Da k nicht null ist, kürzt es sich heraus, und es bleibt die vereinfachte Ableitung a geteilt durch x. Diese Kürzung erklärt, weshalb der Zahlenwert der Ableitung nicht von der Größe von k abhängt, obwohl k für die ursprüngliche Funktion und ihren Definitionsbereich weiterhin wichtig ist. Der Rechner führt diese Vereinfachung direkt aus und stellt die Ableitung lesbar dar. So lassen sich Fehler wie a geteilt durch kx oder eine vergessene innere Ableitung erkennen. Die Regel gilt nur dort, wo der ursprüngliche reelle Logarithmus existiert. x muss daher nicht nur ungleich null sein; das Produkt kx muss positiv sein. Das Werkzeug prüft diese Bedingung vor der Auswertung und bewahrt die Einschränkungen der eingegebenen Funktion.

Werten Sie das Ergebnis aus und deuten Sie es

Nachdem die Ableitung zu a geteilt durch x vereinfacht wurde, setzen Sie den gewünschten Punkt ein und führen die Division aus. Der ausgegebene Wert ist die momentane Änderungsrate der ursprünglichen logarithmischen Funktion an diesem Punkt beziehungsweise die Steigung ihrer Tangente. Ein positives Ergebnis bedeutet, dass die Funktion dort steigt; ein negatives Ergebnis bedeutet, dass sie dort fällt. Der Wert ist null, wenn a gleich null ist. In diesem Fall ist die ursprüngliche Funktion überall konstant, wo der Logarithmus definiert ist. Die Ausgabe enthält die erkannte Funktion, die vereinfachte Ableitung, den Auswertungspunkt und den numerischen Ableitungswert. Sie eignet sich daher zur Kontrolle handschriftlicher Rechnungen oder als deterministische Eingabe für weitere Berechnungen. Beachten Sie, dass die Ableitungsformel den ursprünglichen Definitionsbereich nicht aufhebt. Obwohl a geteilt durch x algebraisch für jedes x ungleich null definiert ist, ist die Auswertung nur gültig, wenn ln(kx) reell ist. Nullwerte, nicht endliche Zahlen und Punkte außerhalb des Definitionsbereichs werden abgelehnt, damit kein irreführendes Ergebnis entsteht. Automatisierte API-Anfragen verwenden den veröffentlichten Grundpreis von $0.002 je Berechnung.