Runge-Kutta-4-Einzelschritt-Rechner

Geben Sie die Ableitung als f(x, y), die Startkoordinaten und eine Schrittweite ungleich null ein. Das Ergebnis zeigt k1, k2, k3 und k4 als Steigungsschätzungen, ihre Auswertungspunkte, den gewichteten Mittelwert und die endgültige RK4-Näherung. Anhand dieser vollständigen Herleitung können Sie Aufgaben prüfen, einen numerischen Löser validieren oder einen Schritt dokumentieren, ohne die Rechenwege auszublenden.

Beschreiben Sie das Anfangswertproblem eindeutig

Beginnen Sie mit einer Gleichung erster Ordnung in der Form y' = f(x, y). Tragen Sie in das Ausdrucksfeld nur die rechte Seite ein und verwenden Sie x und y als unabhängige beziehungsweise abhängige Variable. Lautet die Gleichung beispielsweise y' = x + y, geben Sie x + y ein. Der Parser unterstützt übliche Arithmetik, Klammern, mit ^ geschriebene Potenzen, die Konstanten pi und e sowie gängige Funktionen wie sin, cos, exp, log und sqrt. Geben Sie anschließend den bekannten Punkt (x, y) und die Schrittweite h an. Ein positives h führt nach rechts, ein negatives h wendet dieselbe RK4-Konstruktion rückwärts an. Die Schrittweite darf nicht null sein, weil die Lösung sonst nicht fortschreitet. Sämtliche Zahlen und Funktionswerte müssen endlich bleiben. Schreiben Sie Multiplikationen ausdrücklich als 2*x statt 2x. Dieses klare Format verhindert eine unbeabsichtigte Deutung von Gleichungsbezeichnungen oder impliziten Multiplikationen und hält alle vier Auswertungen reproduzierbar.

Verfolgen Sie die vier Steigungsschätzungen

Der Rechner gibt k1 bis k4 gemäß der Konvention k1 = f(x, y) als Steigungen aus, nicht als bereits mit h multiplizierte Inkremente. Zunächst verwendet k1 den Anfangspunkt. Die zweite Schätzung nutzt den Mittelpunkt x + h/2 und prognostiziert dessen y-Koordinate mit h*k1/2. Die dritte bleibt am Mittelpunkt, ersetzt diese Prognose jedoch durch h*k2/2 und korrigiert dadurch die Richtung anhand der zweiten Steigung. Schließlich wertet k4 die Ableitung bei x + h mit einer auf k3 beruhenden y-Prognose für den ganzen Schritt aus. Die zurückgegebenen Felder k2_point, k3_point und k4_point zeigen diese Auswertungskoordinaten direkt. Das ist wichtig, weil manche Lehrbücher dieselben k-Symbole für das h-Fache der jeweiligen Steigung verwenden. Folgt Ihre Quelle dieser anderen Konvention, multiplizieren Sie jeden angezeigten k-Wert vor dem Vergleich der Stufen mit h. Die endgültige y-Näherung bleibt bei konsequenter Anwendung der zugehörigen Formel unverändert.

Deuten Sie die gewichtete Aktualisierung und ihre Grenzen

RK4 kombiniert die Steigungen als (k1 + 2*k2 + 2*k3 + k4)/6. Dabei erhalten die beiden Mittelpunktsschätzungen das doppelte Gewicht der Endpunktschätzungen. Der Rechner gibt diese Größe als weighted_slope zurück und berechnet danach y_next = y + h*weighted_slope sowie x_next = x + h. Ein RK4-Schritt ist im üblichen lokalen Sinn für eine hinreichend glatte Ableitung von vierter Ordnung genau. Das garantiert jedoch nicht, dass jede gewählte Schrittweite klein genug ist. Ein schnell veränderliches, singuläres, unstetiges oder steifes Problem kann ein deutlich kleineres h oder ein Verfahren mit Fehlerkontrolle erfordern. Dieses Werkzeug führt bewusst genau einen festen Schritt aus: Es schätzt keinen Abbruchfehler, passt die Schrittweite nicht an und löst kein ganzes Intervall. Prüfen Sie die Empfindlichkeit, indem Sie einen Schritt der Größe h mit zwei aufeinanderfolgenden Schritten der Größe h/2 in einem vollständigen Löser vergleichen. Nutzen Sie die angezeigten Stufen, um Abweichungen durch Eingabe, Rundung oder Steigungskonvention zu finden.