Kegelschnitte klassifizieren: Kreis, Ellipse, Parabel, Hyperbel

Zusammen mit dem Typ erhalten Sie die Diskriminante B² − 4AC, ob der Kegelschnitt gedreht ist (ein gemischtes Glied ungleich null) und — bei zentralen Kegelschnitten — die Koordinaten des Mittelpunkts. Es ist der Klassifizierungsschritt der analytischen Geometrie in einem einzigen Aufruf, mit demselben Code, der kostenlos in Ihrem Browser und über die kostenpflichtige API läuft.

Eine Gleichung, vier mögliche Kurven

Jeder Kegelschnitt — die Kurven, die entstehen, wenn man einen Kegel mit einer Ebene schneidet — lässt sich in derselben allgemeinen Form schreiben: Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0. Welche der vier Familien eine gegebene Gleichung beschreibt, entscheidet allein der quadratische Teil, also die Koeffizienten A, B und C. Der klassische Test berechnet die Diskriminante B² − 4AC. Ist sie negativ, ist die Kurve eine Ellipse, mit dem Sonderfall eines Kreises, wenn A gleich C ist und es kein gemischtes Glied gibt. Ist sie genau null, ist die Kurve eine Parabel, der Grenzfall, in dem die Schnittebene parallel zur Seite des Kegels liegt. Ist sie positiv, ist die Kurve eine Hyperbel, der Fall mit zwei Ästen. Der Kegelschnitt-Klassifikator führt diesen Test für Sie durch: Sie senden die sechs Koeffizienten und erhalten die Familie, die Diskriminante als Nachweis und die zusätzlichen Parameter, die die Kurve beschreiben.

Wie die Klassifizierung berechnet wird

Die Berechnung ist die übliche aus der analytischen Geometrie, ohne Näherungen und ohne externe Aufrufe. Zuerst wird geprüft, ob jeder Koeffizient eine endliche Zahl ist, und die beiden Eingaben, die keinen Kegelschnitt definieren können, werden abgelehnt: alle sechs Koeffizienten gleich null, was überhaupt keine Gleichung ist, und ein verschwindender quadratischer Teil, was eine Gerade statt eines Kegelschnitts beschreibt. Dann entscheidet die Diskriminante B² − 4AC über die Familie wie oben beschrieben. Zwei weitere Erkenntnisse ergeben sich aus derselben Rechnung. Die Gleichung gilt als gedreht, sobald der gemischte Koeffizient B ungleich null ist, denn ein gemischtes Glied bedeutet, dass die Achsen der Kurve gegenüber den Koordinatenachsen geneigt sind und eine Drehung nötig wäre, um es zu beseitigen. Und wenn 4AC − B² nicht null ist — also bei Kreisen, Ellipsen und Hyperbeln, den sogenannten zentralen Kegelschnitten — wird der Mittelpunkt der Kurve zurückgegeben, der sich durch Lösen der beiden linearen Gleichungen 2Ax + By = −D und Bx + 2Cy = −E ergibt. Parabeln haben keinen Mittelpunkt, daher wird das Feld dort einfach weggelassen.

Wo es in der Praxis passt

Studierende nutzen den Klassifikator, um Hausaufgaben zu prüfen: die Diskriminante von Hand ausrechnen und das Ergebnis hier bestätigen, bevor es an Scheitelpunkte, Brennpunkte oder Asymptoten geht. Lehrende nutzen ihn, um Übungsaufgaben mit bekannten Lösungen zu erstellen, indem sie Koeffizienten wählen, die auf jeder Familie landen. Entwickler nutzen ihn überall dort, wo eine Gleichung zweiten Grades als Daten auftritt — Computergrafik, Bahn- und Antennenberechnung, Kamerakalibrierung, Optimierungsprobleme — und die Software je nach Kurventyp verzweigen muss, bevor sie sie zeichnen oder damit schlussfolgern kann. Der Endpunkt läuft auf unserem globalen Edge-Netz, speichert nichts, was Sie senden, und kostet $0.002 pro Anfrage, wenn Sie ihn automatisieren. Derselbe Code läuft kostenlos in Ihrem Browser auf dieser Seite, sodass Sie eine Gleichung von Hand klassifizieren, die zurückgegebene Diskriminante und den Mittelpunkt studieren können und erst zahlen, wenn Sie dieselbe Prüfung in eine Pipeline integrieren, die Tausende von Gleichungen pro Tag klassifiziert.