Komplexe Zahl in Polarform

Geben Sie den Realteil a und den Imaginärkoeffizienten b ein und wählen Sie Radiant oder Grad. Das Ergebnis enthält numerische Werte sowie eine direkt lesbare trigonometrische Darstellung. Damit können Sie Algebraaufgaben prüfen, Zeigerrechnungen vorbereiten und strukturierte Daten ohne mehrdeutige Ausdrucksanalyse konvertieren.

Geben Sie die kartesischen Komponenten korrekt ein

Beginnen Sie mit einer komplexen Zahl in kartesischer Form, a + bi. Der reelle Eingang a ist die horizontale Koordinate in der komplexen Ebene; der imaginäre Eingang b ist der vorzeichenbehaftete Koeffizient von i und die vertikale Koordinate. Für 3 + 4i geben Sie 3 und 4 ein. Für 3 - 4i verwenden Sie 3 und -4, denn das Minuszeichen gehört zum Imaginärkoeffizienten. Beide Eingaben müssen endliche Zahlen sein. Text mit einem vollständigen Ausdruck, Unendlich und fehlende Werte werden deshalb abgelehnt und nicht geraten. Diese eindeutige Struktur eignet sich sowohl für einen API-Ablauf als auch für eine manuelle Rechnung. Das imaginäre Feld akzeptiert außerdem die Aliasse imag und im für bestehende Integrationen, obwohl imaginary der deutlichste kanonische Feldname ist. Wählen Sie vor der Auswertung von theta die Winkeleinheit. Radiant ist voreingestellt und in höherer Mathematik sowie Programmbibliotheken üblich. Grad ist häufig für Geometrie, elementare Algebra, Schaltungen und bekannte Drehungen praktischer. Die Auswahl ändert nur die Darstellung von theta, nicht die dargestellte komplexe Zahl.

Verstehen Sie die Berechnung von Betrag und Argument

Der Betrag ist der Abstand vom Ursprung zum Punkt (a, b) in der komplexen Ebene. Er wird als r = sqrt(a squared + b squared) mit einer stabilen hypot-Operation berechnet und ist stets nichtnegativ. Das Argument beschreibt die Richtung des Punktes von der positiven reellen Achse aus. Verwendet wird atan2(b, a) anstelle des gewöhnlichen Arkustangens, da atan2 die Vorzeichen beider Koordinaten erhält und den richtigen Quadranten bestimmt. Das ausgegebene theta ist das Hauptargument: in Radiant reicht es von -pi bis pi und in Grad von -180 bis 180, abhängig vom üblichen Endpunktverhalten von atan2. Negative Winkel bezeichnen Punkte unterhalb der reellen Achse. Durch volle Umdrehungen ergänzte oder verminderte koterminale Argumente beschreiben dieselbe Zahl; ein eindeutiger Hauptwert macht Ergebnisse jedoch vergleichbar. Für null existiert mathematisch kein eindeutiges Argument. Als praktische deterministische Konvention setzt der Rechner theta = 0, wenn beide Komponenten null sind. Sehr kleine Gleitkommareste und negatives null werden für eine saubere Ausgabe normalisiert.

Lesen und verwenden Sie die trigonometrische Darstellung

Die Antwort liefert r, theta, angle_unit und eine trigonometrische Zeichenfolge der Form r(cos(theta) + i sin(theta)). Für Software sind die numerischen Felder am besten geeignet: Sie können sie speichern, vergleichen, darstellen oder ohne erneutes Parsen an weitere Berechnungen übergeben. Das trigonometrische Feld ist zum Lesen, Kopieren in Notizen und Prüfen der sichtbaren Winkeleinheit gedacht. Zur Kontrolle gewinnen Sie mit a = r cos(theta) und b = r sin(theta) die kartesischen Komponenten zurück; die Funktionen müssen dabei die angegebene Einheit verwenden. Ein Punkt im Quadranten II muss beispielsweise einen positiven Imaginärteil, einen negativen Realteil und ein Argument zwischen 90 und 180 Grad besitzen. Diese Vorzeichenprüfung deckt viele manuelle Fehler auf. Die Implementierung arbeitet deterministisch und nutzt weder Netzwerk noch Speicher, Zufall oder Uhrzeit. Dieselbe gültige Eingabe erzeugt daher immer dieselben JSON-Werte. Jede API-Berechnung verarbeitet eine komplexe Zahl als ein Element und kostet $0.002. Die reine Berechnung eignet sich ebenfalls für den erzeugten Browser-Runner, der dieselbe Umrechnungslogik verwendet.