Mindestens ein Ereignis

Geben Sie die Wahrscheinlichkeit eines einzelnen Versuchs als Dezimalzahl zwischen null und eins und anschließend die Anzahl der Versuche ein. Das Ergebnis beruht auf der Gegenwahrscheinlichkeit: Zuerst wird die Chance berechnet, dass kein Erfolg eintritt, dann wird dieser Wert von eins abgezogen. Das ist meist einfacher und zuverlässiger, als die Wahrscheinlichkeiten für einen, zwei und alle weiteren möglichen Erfolge einzeln zu addieren.

Die Methode der Gegenwahrscheinlichkeit verstehen

Die Wahrscheinlichkeit für mindestens einen Erfolg direkt zu bestimmen, kann aufwendig sein, denn die Formulierung umfasst viele mögliche Ergebnisse. Bei fünf Versuchen gehören beispielsweise genau ein, zwei, drei, vier oder fünf Erfolge dazu. Die Gegenwahrscheinlichkeit umfasst dagegen nur ein Ergebnis: überhaupt keinen Erfolg. Ist die Erfolgswahrscheinlichkeit eines Versuchs p, beträgt die Misserfolgswahrscheinlichkeit 1 - p. Bei n unabhängigen Versuchen ist die Wahrscheinlichkeit, dass alle scheitern, gleich (1 - p)^n. Zieht man diesen Wert von eins ab, erhält man 1 - (1 - p)^n und damit die Wahrscheinlichkeit für einen oder mehrere Erfolge. Der Rechner gibt beide Werte aus, sodass Sie den Zusammenhang erkennen und prüfen können, ob ihre Summe eins ergibt; bei extremen Werten sind übliche Abweichungen durch Gleitkommapräzision möglich. Eine Wahrscheinlichkeit von null führt stets zu null für mindestens einen Erfolg. Eine Wahrscheinlichkeit von eins bedeutet Gewissheit, sobald mindestens ein Versuch stattfindet. Bei null Versuchen gibt es definitionsgemäß keinen Erfolg, daher ist die Wahrscheinlichkeit für mindestens einen unabhängig von der Einzelwahrscheinlichkeit null.

Wahrscheinlichkeit und Versuche richtig eingeben

Verwenden Sie eine Dezimalwahrscheinlichkeit einschließlich der Grenzen 0 und 1. Geben Sie beispielsweise 0.25 für eine Chance von fünfundzwanzig Prozent je Versuch ein; 25 ist nicht zulässig, weil dieser Wert außerhalb des angenommenen Bereichs liegt. Die Anzahl der Versuche muss eine nicht negative ganze Zahl sein und darf null betragen. Unabhängigkeit ist entscheidend: Das Ergebnis eines Versuchs darf die Wahrscheinlichkeit eines anderen nicht verändern, und für alle Versuche muss dieselbe Einzelwahrscheinlichkeit gelten. Wiederholte Würfe eines fairen Würfels und Ziehungen mit Zurücklegen sind typische Beispiele. Kartenziehen ohne Zurücklegen ist nicht unabhängig, weil sich der Stapel nach jeder Ziehung verändert; diese Formel würde ein solches Experiment nicht korrekt abbilden. Ebenso können wiederholte Versuche bei wechselndem Wetter, Bestand, Ermüdungsgrad oder Systemaufkommen unterschiedliche Wahrscheinlichkeiten besitzen. Nutzen Sie dann ein Modell, das für jeden Versuch eine eigene Wahrscheinlichkeit akzeptiert. Der Rechner prüft den Zahlenbereich, kann aber anhand der Werte allein nicht erkennen, ob Ihre realen Versuche unabhängig sind. Diese Annahme bleibt daher Teil Ihrer fachlichen Bewertung.

Das Ergebnis einordnen und verwenden

Das Hauptergebnis ist eine Dezimalwahrscheinlichkeit von 0 bis 1. Multiplizieren Sie diese mit 100, wenn Sie für einen Bericht oder ein Dashboard einen Prozentwert benötigen. Die ebenfalls ausgegebene Wahrscheinlichkeit ohne Erfolg eignet sich zur Gegenprüfung und kann selbst das relevante Betriebsrisiko darstellen, etwa die Chance, dass alle redundanten Komponenten nicht reagieren. Mehr Versuche erhöhen die Wahrscheinlichkeit mindestens eines Erfolgs, sofern die Einzelwahrscheinlichkeit größer als null ist. Sie garantieren jedoch weder den Erfolg jedes Versuchs noch geben sie an, wie viele Erfolge zu erwarten sind. Die Formel beantwortet ausschließlich, ob die Anzahl mindestens eins beträgt. Vergleichen Sie zur Planung mögliche Versuchszahlen bei konstanter Einzelwahrscheinlichkeit oder Maßnahmen, welche diese Wahrscheinlichkeit bei unveränderter Versuchszahl verbessern. Runden Sie die Eingabe vor der Berechnung möglichst nicht, wenn das Ereignis selten oder die Versuchszahl groß ist, denn eine kleine Änderung von p kann die kombinierte Wahrscheinlichkeit spürbar verändern. Die Implementierung verwendet logarithmische Komplementarithmetik, um bei sehr kleinen Wahrscheinlichkeiten und vielen Versuchen eine brauchbare Genauigkeit zu erhalten. Im Browser ist die Nutzung kostenlos; die Automatisierung per API kostet $0.002 je Anfrage.