Wahrscheinlichkeit einer Kopfserie beim Münzwurf

Geben Sie die Gesamtzahl der Würfe und die Serienlänge ein; die Berechnung berücksichtigt alle möglichen Entwicklungen ohne Simulation. Das Ergebnis enthält sowohl die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses als auch die seines Gegenereignisses. Damit eignet es sich für Spiele, den Wahrscheinlichkeitsunterricht, die Versuchsplanung und die Überprüfung Ihrer Intuition zu wiederholten unabhängigen Versuchen.

Was der Rechner ermittelt

Gemessen wird, ob an irgendeiner Stelle der Würfe mindestens eine ununterbrochene Serie der gewünschten Länge vorkommt. Sie kann mit dem ersten Wurf beginnen, mit dem letzten enden oder zwischen Zahl-Ergebnissen liegen. Längere Serien zählen ebenfalls: Viermal Kopf in Folge erfüllt auch eine Vorgabe von drei, weil darin überlappende Dreiergruppen enthalten sind. Der Rechner fragt weder nach einer exakten Gesamtzahl von Kopf noch danach, ob die Serie genau einmal auftritt; das wären andere Wahrscheinlichkeitsfragen. Jeder Wurf gilt als unabhängig und die Münze als fair, sodass Kopf und Zahl jeweils die Wahrscheinlichkeit ein halb haben. Zehn Würfe mit einer Zielserie von drei fragen beispielsweise, ob KKK mindestens einmal vorkommt. Weitere Kopf-Ergebnisse sind unerheblich. Ist die Serienlänge größer als die Anzahl der Würfe, passt sie nicht in den Versuch; die Fähigkeit meldet deshalb eine ungültige Eingabe, damit die widersprüchliche Konfiguration sichtbar bleibt.

Wie die Wahrscheinlichkeit berechnet wird

Die Wahrscheinlichkeiten für einen Serienbeginn an jeder möglichen Position einfach zu addieren wäre falsch, weil sich Kandidaten überschneiden. In KKKK beginnt etwa an zwei Positionen eine Dreierserie, das Ergebnis darf jedoch nur einmal zählen. Dynamische Programmierung verhindert diese Doppelzählung. Nach jedem Wurf wird die Wahrscheinlichkeit gespeichert, dass das Ziel noch nicht aufgetreten ist und die bisherige Folge mit null, einem, zwei oder mehr Kopf-Ergebnissen endet, wobei der Zielwert nicht erreicht wird. Zahl setzt alle verbleibenden Wege auf eine Endserie von null zurück. Kopf verschiebt sie in die nächste Serienlänge; Wege, die das Ziel erreichen, verlassen die Zustände ohne Serie. Nach allen Würfen ergibt die Summe der verbleibenden Zustände die Chance, die gewünschte Serie nie zu sehen. Das Gegenereignis ist die gesuchte Wahrscheinlichkeit. Das Verfahren ist deterministisch, wertet das Ereignis direkt aus und vermeidet den Stichprobenfehler einer Monte-Carlo-Simulation.

Ergebnis verstehen und verwenden

Die Antwort nennt die Wahrscheinlichkeit zwischen null und eins, den entsprechenden Prozentwert und probability_no_streak als Gegenereignis. Ein Wert von 0.5078125 bedeutet, dass die Serie unter den genannten Annahmen in ungefähr 50.78125 Prozent der Versuche vorkommt; er sagt keinen einzelnen kurzen Verlauf voraus. Bei vielen Wiederholungen sollte sich die beobachtete Häufigkeit dem berechneten Wert annähern, wobei zufällige Schwankungen normal bleiben. Nutzen Sie das Gegenereignis, um etwa Spiele ohne lange Serie zu untersuchen, oder vergleichen Sie mehrere Längen, um zu erkennen, wie seltene Muster mit mehr Gelegenheiten plausibler werden. Das Modell gilt ausschließlich für eine faire Münze und unabhängige Würfe. Eine verzerrte Münze, Abhängigkeiten, Abbruchregeln oder eine Serie aus beliebigen gleichen Seiten erfordern eine andere Berechnung. Die Grenze von tausend Würfen hält denselben reinen Algorithmus im Browser und über die API reaktionsschnell. Automatisierte Aufrufe kosten jeweils $0.002; auf der Seite ist die lokale Nutzung ebenfalls möglich.