حاسبة بواقي المربعات الصغرى ومجموع مربعاتها

أدخل قائمتين متطابقتين من قيم x وy، إلى جانب ميل الخط الملائم والجزء الذي يقطعه من محور y. تعرض النتيجة كل قيمة متوقعة، وكل باقٍ مع إشارته، ومجموع البواقي، ومجموع مربعات البواقي، والجذر التربيعي لمتوسط مربع الخطأ. تفيد هذه الأداة عندما تكون معادلة الخط متاحة لديك بالفعل وتريد فحص أخطائها، أو مقارنة خطوط بديلة، أو مراجعة تمرين، أو تحديد المشاهدات التي لا يمثلها الخط جيداً.

أدخل المشاهدات والخط الملائم

قدّم الإحداثيات المرصودة في قائمتين اسمهما x_values وy_values. يحدد الموضع الأزواج: تقترن قيمة x الأولى بقيمة y الأولى، والثانية بالثانية، وهكذا. لذلك يجب أن تتساوى القائمتان في الطول، وأن تتضمنا مشاهدة واحدة على الأقل، وألا تحتويَا إلا على أعداد منتهية. بعد ذلك أدخل ميل الخط الذي تريد تقييمه والجزء الذي يقطعه من محور y. تستخدم الحاسبة المعادلة y المتوقعة = الميل × x + الجزء المقطوع؛ ولا تقدّر هذين المعاملين بنفسها. يفيد هذا الفرق عندما يكون كتاب دراسي أو جدول بيانات أو برنامج إحصائي أو خطوة انحدار سابقة قد أعطاك خطاً بالفعل، وتكون مهمتك فحص الأخطاء المتبقية. استخدم وحدات متوافقة في جميع القيم. فإذا قيس x بالساعات وy بالريالات، وجب أن يكون الميل بالريالات لكل ساعة والجزء المقطوع بالريالات. تعيد النتيجة عرض المعاملات المدخلة وعدد المشاهدات المقترنة، حتى تتمكن من التأكد من تقييم البيانات والمعادلة المقصودتين. يمكن معالجة ما يصل إلى 10,000 زوج في الطلب الواحد.

اقرأ كل باقٍ وإشارته

تقيّم الحاسبة أولاً الخط الملائم عند إحداثي x الخاص بكل مشاهدة، فتنتج قيمة متوقعة. ثم تحسب الباقي = y المرصودة − y المتوقعة. يعني الباقي الموجب أن النقطة المرصودة تقع فوق الخط، بينما يعني الباقي السالب أنها تقع تحته. أما الباقي الذي يساوي صفراً فيعني أن الخط يمر بالمشاهدة تماماً. تحافظ مصفوفتا القيم المتوقعة والبواقي على ترتيب الإدخال الأصلي، ولذلك تستطيع مطابقة كل نتيجة مع نقطتها من دون فرز أو معرفات. للإشارات أهمية لأنها قد تكشف نمطاً منهجياً تخفيه قيمة ملخصة واحدة. فقد تشير سلسلة طويلة من البواقي الموجبة تتبعها سلسلة سالبة إلى انحناء، أو متغير مفقود، أو علاقة تتغير. وقد يكشف باقٍ منفرد كبير عن مشاهدة غير معتادة أو خطأ في إدخال البيانات. يجمع الحقل residual_sum الأخطاء بإشاراتها، ويقسم mean_residual ذلك المجموع على عدد النقاط. في خط المربعات الصغرى العادي ذي الجزء المقطوع، إذا لائم البيانات نفسها، يكون هذا المجموع قريباً من الصفر عادةً باستثناء التقريب العددي. لكن قرب المجموع من الصفر وحده لا يثبت جودة الملاءمة، لأن الأخطاء الموجبة والسالبة قد تلغي بعضها بعضاً.

قيّم الملاءمة باستخدام RSS وRMSE

مجموع مربعات البواقي، ويختصر غالباً إلى RSS أو SSE، هو حاصل جمع مربع كل باقٍ. يزيل التربيع الإشارة، ويمنع الأخطاء الواقعة فوق الخط وتحته من إلغاء بعضها، ويمنح الانحرافات الكبيرة وزناً أكبر. إذا كان RSS صفراً، فإن كل النقاط المدخلة تقع تماماً على الخط المقترح. وعند استخدام مجموعة البيانات نفسها ووحدات الاستجابة نفسها، يدل RSS الأصغر على ملاءمة أقرب. غير أن RSS يزداد مع عدد المشاهدات، ووحدته هي مربع وحدة y؛ لذلك تتطلب المقارنة بين مجموعات مختلفة الحجم أو المقياس حذراً. تعيد الحاسبة أيضاً الجذر التربيعي لمتوسط مربع الخطأ، ويحسب بأخذ الجذر التربيعي لناتج قسمة RSS على عدد المشاهدات. يبقى RMSE بوحدة y الأصلية ويصف مقداراً نموذجياً للخطأ، مما قد يجعل تفسيره أسهل. هذه قيمة وصفية للملاءمة، وليست الخطأ المعياري للبواقي المعدل بدرجات الحرية والمستخدم في الاستدلال الإحصائي. عند مقارنة خطوط بديلة بالنقاط نفسها تماماً، افحص المقاييس الإجمالية ونمط كل باقٍ معاً. فقد تخفي أفضل نتيجة عددية انحناءً أو تجمعات أو نقاطاً شديدة التأثير أو نموذجاً خطياً غير مناسب.